Quelle est la plus grande de toutes ces probabilités
Je vais calculer le rapport d'un terme au précédent.
,, : r)*+^ atn-<3.-\
^«+< - oc + 1! w-a-1!^ ^
Ma + i a! m — a! . m — at)
±JU __ , rpq - 1 — - . c .
Ma (i.-\- \\ in — a — II a-j-l q
De même en changeant a en a — 1 :
Ua. Yïl — X -f- 1 p
Ua,^ a q
Pour que Ma soit la plus grande de toutes les probabilités, il faut que
Wa + i <C Wa > Wa — j
Donc :
^^51±i < 1 et -^ > 1,
c'est-à-dire :
— — j-^- < 1 et =^=- ^- > 1.
OU
[m — x] p <^ [x -\- i) q et [m — a -}- 1) p > xq,
mp — xp <. xq -\- q et mp — xp -\- p > xq .
Comme :
xp -\- xq =: X ip -\- q) = 5t, mp <. X -\- q et mp > a — p.
De telle façon que nous arrivons aux inégalités
mp -f- P > » > ^^P — 7-
D'où une limite supérieure et une limite inférieure pour x. La différence de ces deux limites est p -\- q =^ ^ ; ainsi a est compris entre deux nombres, généralement fractionnaires^ qui diffèrent d'une unité, et comme * est entier, ces deux limites déterminent x.
11 y a exception quand mp -\- p est entier ; alors mp — q l'est aussi. On pourrait hésiter pour x ; deux termes consécutifs dans le développement de [p -|- q)'" sont égaux entre
eux.
Si m est très grand, le rapport — est compris entre p -\
et » — — > donc — sera voisin de p. mm
C'est une forme d'établissement du théorème de Bernouilli.
Si je choisis x de façon que m» soit le plus grand possible, le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B sera à peu près celui des probabilités p et q.
5. Quelle est la probabilité pour que a s'éloigne d'une quantité donnée h de mp ? Soit :
a — mp = h.
J'appelle h l'écart et je vais chercher la valeur probable de la valeur absolue de cet écart, ainsi que la valeur probable de son carré.
Soit p^ la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a^ ;
Soit pj la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a, ;
Soit pn la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a„.
La valeur probable de a est, par définition,
a^p^ +«2^2 -\- ••• + a„pn,
c'est l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme égale k a.
La valeur probable de a- n'est nullement égale au carré de la valeur probable de a. Par définition, la valeur probable
de a^ est
Harpi,
tandis que le carré de la valeur probable de a est
[^aiPi]\ Soit h la valeur probable de a^, c celle de a. b-c^ = Hpi lla^pi — [Sa,;p,]2, car S/),- := 1.
Nous transformerons le second membre à l'aide de l'identité de Lagrange :
SX2. SX'2 — [ÇXX7 = s (XY' — YXO'.
Nous poserons
X' = Ui \^i,
d'où
et:
XX' = aaii
SX2 = vp., SX'2 = ILUi^pi, SXX' = :Sa,/>/.
Par conséquent
* — c- = S (Vp/ Uk \lpk — sipk ai y/pif b — c^ = 'SpiPk [Uk — fl;)*.
Pi et pk sont essentiellement positifs ; donc b — c^ est supérieur à zéro, et la valeur probable du carré de a est toujours plus grande que le carré de la valeur probable de a, sauf quand Uk = ai.
6. Occupons-nous maintenant de la valeur probable de h, de la valeur probable du module \h \ de A, de la valeur probable de h^.
Je vais considérer la valeur probable d'une quantité quelconque M ; c'est
iïl '
le second membre est un polynôme entier, homogène et de degré m par rapport kp etq, que je désigne par F (p, q). Cherchons la valeur probable de Ma ; c'est
SMa
pCtfjm -
Nous avons passé d'une expression à l'autre en multipliant par a les termes successifs ; en différentiant p^^/'" - « par rapport à p, nous aurions eu ap*-^ qm-x . j^ valeur probable de Ma est donc :
pdF dp
Les nombres p et q ne sont pas indépendants, puisque leur somme est 1. On a fait la différentiation comme s'il» l'étaient, on a diiîérentié par rapport à p comme si q était constant. De plus, M peut dépendre de p : h dépend de p. J'éviterai cette confusion de la manière suivante : A la place de p et q j'introduis deux variables auxiliaires, œ et y, et je considère
SM
que j'appelle F {œ^ y). Si M dépend dep, je n'y remplace pas p et q par x et y; la valeur probable de M est bien alors- F (p, q), et
SMa — '■ j- x'^y
est bien x - — dx
On y remplacera x et y par p et q après la différentiation.
