Appliquons ce qui précède au problème qui nous occupe

Soit d'abord M = 1.

v~i in

^' i^, y) = 2j ^im-oii ^''^'" "* = (^ + y)'" •'

si je fais ensuite :

il vient :

et en effet la valeur probable de 1 est 1.

Pour avoir la valeur probable de a, je différentie F (a;, y) par rapport à x, et je multiplie par x, ce qui me donne mx[x-\-y)"'-^ ; puis je fais x = p, y = q. La valeur probable de a est mp.

Pour avoir la valeur probable de a', je différentie le terme mx [x ■{- y)'"-^ par rapport à x, puis je multiplie par x\ ce qui me donne d'abord

m (a; -f y)"» - < -{- m {m — i) x {x J^ y)"» -2 puis:

mx {x -\- y]'"-^ ^rn[m — 1) x'^ {x + y)"'-2.

En faisant x =^ p ei y = q^ j'obtiens pour la valeur probable de 'i? :

mp -}- m'^p'^ — mp'^.

Cherchons maintenant les valeurs probables de h et h^. La valeur probable de h sera la valeur probable de a, moins la valeur probable de mp, c'est-à-dire

mp — mp := o.

La valeur probable de l'écart est donc nulle. La valeur de A^ est :

h^ = x^ — 'impx -f- m^p^ ',

sa valeur probable est donc :

[mp -j- rn^p^ — mp^) — '2,mp.mp -}- m^p^,

ou :

mp (1 — p), c'est-à-dire mpq.

La valeur probable du carré de h est tnpq.

On vérifiera en passant qu'elle est effectivement plus grande que le carré de la valeur probable de h, qui est nulle.

8. Passons à la valeur probable du module de h ; cherchons d'abord quelle serait l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme 1 si l'écart était positif, et 0 s'il était négatif?

Hiix doit se borner aux termes dont l'écart est positif. Soit wp le dernier terme de !!;<« pour lequel l'écart est positif; on a:

f5 > mp, et p — 1 < mp,

et l'espérance mathématique de ce joueur serait :

c'est-à-dire F [p, q) en posant :

F {x, y) = x'--{-j x'—'y + + ,^, J'j , a^Py—?.

Si l'on supposait maintenant qu'on ait promis à ce joueur

une somme a, son espérance mathématique sera x -r—i en

faisant x :=p. y ^= q après la différentiation. Enfin, la valeur probable d'une fonction qui est égale à h pour A > o et à o pour h <, o sera donc l'espérance mathématique de ce joueur à qui l'on promet a — tiip quand a > mp\ c'est donc :

dx

F est un polynôme homogène et de degré m en a; et y ;

donc :

''^='d^-^yTy'

L'espérance mathématique ci-dessus devient :

dV d¥ d¥