X -r- — px -. py -r

dx ^ dx ^-^ dy

ou :

rfF d¥

en faisant x ^= p, y =. q^ après différentiation. On a d'abord :

fd¥ d¥\ P^[d^-d^)'^

d'autre part :

^ = mx^-* -{-m{m—i)x"'-^ yA- -f „, "'' .Sa;?-' j;"'-?

dx I V ; y^ "^aiw — 3!'

— = mx'"-^ -\- m [m — 1) x^-^y +

Il entre un terme de plus dans la somme qui représente

dF , . dF dF

■^ ; ce dernier terme représente -^ -r-> et il est égal à :

et après qu'on y a fait x ■='p^ y =^ q/\\ devient :

pP^/«-p P,

Pour l'espérance mathématique de notre joueur, nous avons donc :

On y reconnaît le produit par pq, du terme wp, le dernier qui corresponde k un écart positif.

9. On promet k un joueur une somme égale k la valeur absolue de l'écart : soit E son espérance mathématique, en admettant qu'il ne doive être payé que si l'écart est positif, E' en admettant qu'il ne doive être payé que s'il est négatif.

La valeur probable de h est E — E'.

La valeur probable du module de A est E -f- E'.

Comme la valeur probable de h est nulle :

et la valeur probable de | /^ | est 2E.

10. Ainsi la valeur probable de l'écart h considéré en valeur relative est zéro ; la valeur probable de h^ est mpq ; celle de i ^ I est 2E ou

'^ pi m — p\^ ^

CINQUIÈME LEÇON 6f

B correspond au dernier terme pour lequel l'écart est positif, et il diffère peu de mp.

A cette expression on peut substituer la valeur approchée

Ce terme est beaucoup plus grand que tous les autres, mais il est très petit.

La valeur probable de | ^ | est beaucoup plus petite que mpq. Suivant une remarque déjà faite, le carré de la valeur probable de | A | est plus petit que la valeur probable de h}: donc la valeur probable de | ^ | est certainement plus

petite que sjmpq.

1. Je vais montrer comment on peut connaître une valeur approchée de t<a, du terme maximum, de la valeur probable de I /< I , etc.

Le calcul de ces valeurs approchées se rattache à la formule de Stirling.

On a :

x'^e-^dx = r (w -|- 1),

c'est-à-dire la fonction eulérienne ; cette intégrale conserve un sens quand n est positif, mais non entier. Si l'on pose

r (n -f- 1) = W'e-" V^Trn,

le rapport du premier membre au second tend vers l'unité quand n augmente indéfiniment.

Je ne donnerai pas la démonstration générale, mais seulement pour n entier.

La formule de Stirling sert à calculer la factorielle d'un nombre entier

n! = n"e~" \Jl-Kn^

c'est une formule asymptotique. L'erreur absolue que Ion commet en prenant le second membre comme valeur du pre-

mier augmente indéfiniment avec n, mais l'erreur relative tend vers zéro.

Il en résulte que l'erreur absolue sur le logarithme de n ! tend vers zéro.

Je puis d'abord écrire :

n! = «"e-" \fn F (n)

et je vais démontrer que F [n] tend vers une limite finie et déterminée C quand n augmente indéfiniment ; de telle sorte que Ion aura alors :

n! = Cn'e-" v'^.