Considérons le produit
Fi 2) F (3) Fi> -I- \) F (1) F (2) "* F \n)
Ce produit infini est convergent, ou, ce qui revient au même, la série, dont le terme général est :
K («) est convergente.
Nous avons
(n -f 1)! = (n -f 1)"+' e-(« + <) yn -f i F >< + 1)
F (ni ~ n! („ -j- ij-^'e-i"^»; y^ -f 1 n + \ ^ /~^
Le second membre se transforme à l'aide du développement de L (1 -)- ^) en série :
^ ~" r + 2) (n ~ sTTa + 3^3 "~ ■■')
ou
c'est-k-dire :
Si j'appelle w,, le premier terme de cette dernière série :
limite n'^u^ = — r:;'
En vertu d'une règle de Gauss, cette série est convergente.
3. Reste à calculer la valeur de C. Rappelons la formule de Wallis :
on en déduit, pour n plus grand que toute quantité donnée: 2.4 ... 2w
2 1.3 ... (2w — 1) \j2n + 1 Au numérateur figurent les n premiers nombres pairs, au
dénominateur les n premiers nombres impairs ; je multiplie haut et bas par 2.4 ... 2n,
Cette fraction a pour limite i/ - quand n augmente indéfiniment. Si nous y remplaçons les factorielles par leur valeur approchée pour n très grand, elle devient :
(2w;2''e-2'» C v2w v2w -h 1 ou :
Ci/ V^ .
et, quand n grandit indéfiniment, elle se réduit à ■^^
Cette limite étant la même que la précédente, 1/ 3'
on a :
C = sl'hz.
4. Quand deux événements contraires, A et B, ont pour probabilité respective p et q, de telle sorte que p -{~q z=. i^ nous avons vu que, sur m événements, la probabilité pour qu'il s'en produise a égaux à A et w — % égaux à B, est :
Calculons une valeur approchée de Wa, en supposant m très grand, et de plus
a = mp -\- À v^,
OÙ
X \Jm est très grand quand m est très grand, mais nous supposerons X fini et par conséquent l'erreur relative très
petite, quand on prend mp pour valeur de a, c'est-à-dire —
voisin de 1.
mp ^ psjm
On a comme conséquence :
m — a = mq — X ym.
puisque :
Je remplace dans m» chaque factorielle par sa valeur calculée à l'aide de la formule de Stirling.
a«e-« V27ra. (m — a)'«-*e -"«-«' y/âTr (m — a)
"" "~ a« (m — ti)'"-« V 27ra(w — tt)'
En réunissant les termes qui ont pour exposant a et ceux qui ont pour exposant m — a,
(mp\ct / ma \'«-a /
27ra (m — a) Or:
[m — a) (mp -j- X \/m} {mq — X \/m)
— tend vers l'unité ainsi que ; le radical qui entre
mp ^ mq
dans Ma a pour limite.
^Ttmp.mq sj^Tzmpq
Nous pouvons écrire :
\'zT:nipq mp ' mq
ou :
-(».î-xv'™)l(i-^).
Pour yn très grand, nous pouvons développer les loga-
q V^m donne le développement de L (1 -f- ^)' Ainsi,
rithmes de 1 + /— et de 1 — /— par la formule qui p Sm q \r" ^
{mp + Xslm)h{i^~)
V P -r ^ \^) yp y/^ ip*m ■" 3p^m \Jm * /
Je cherche en ce moment une valeur asymptotique de «a, c'est-à-dire une valeur telle que le rapport de w» à cette valeur tende vers 1 quand m augmente indéfiniment ; je pourrai donc, dans le produit précédent, négliger tous les termes
qui tendent vers 0, ceux qui contiennent m ou \[m au dénominateur.
Il restera :
À \m — ;r — \- —■> OU A \m ■+- — •
J'en déduirai la valeur du produit :
(m^-XVm)L(l-^^-)
en changeant dans le résultat précédent X en — X et p en g' ; et la somme de ces produits sera, en définitive :
OU
— ( - 4- - h c est-a-dire - — 2 \p ' qj ^pq
Ainsi :
huix = L
sJ^Tzmpq ^P9
En repassant des logarithmes aux nombres, on aura comme valeur approchée de m» :
s/'^.-nmpq
Lorsque m croît indéfiniment, le rapport de w» à l'expression précédente tend vers l'unité.
