J'observe d'abord ce qui se passe pour le terme maximum

Le maximum de Ua. s'obtient en donnant à a une valeur

qui diffère très peu de mp\ alors À est nul, et la valeur du

terme maximum est

Cette expression diminue avec m. Il ne faut pas croire que, si m augmente indéfiniment, la probabilité attendue s'approche de la certitude; au contraire, elle tend vers zéro.

C'est là le théorème de Bernouilli, que nous préciserons tout à l'heure,

6. Quelle est la probabilité pour que X soit compris entre XetÀ-f-rfX?

Je considère dX comme très petit; dk \jm est cepçndant un

nombre entier, ce qui veut dire que dk est de l'ordre de ~7=*

Si je donne à À un accroissement très petit, l'exponentielle ne changera pas, w» sera sensiblement constant.

La probabilité cherchée est une somme de termes tels que a varie de a à ot -j- ^, » et a -j- ^ étant définis par :

tt = mp -j- X \jm, a -{- k=i mp + (X + dk) v/w, c'est-à-dire :

k = dA yw.

a doit être compris entre les limites :

a — mp

k -\- dk^ — 7=— > X

c'est-à-dire qu'il doit être égal à l'un des nombres :

a-f-l, a + 2, ..., a-fÀ.

La probabilité totale est :

^o^ + i + Wa + a + ... -|- Wa+ A.

Il y a A termes sensiblement égaux à Wa ; la probabilité

cherchée est :

ke~ 2p9

\/2Timpg

ou, en remplaçant k

par dl yw,

dXe~ 2p?

yJ'^Tipq