Arrêtons-nous sur quelques conséquences de ce calcul

La probabilité pour que À soit compris entre — x et -j- XI est 1, ce qui paraît une tautologie. Cette conclusion n'était pas si sûre : la formule dont nous nous sommes servis était approchée, et vraie seulement si À est petit par rapport

Soit d'abord :

a == mp -f- ^ y^y

la probabilité pour que X soit compris entre À^ et À, tendra, d'après ce qui précède, vers :

yJÎTtpq

quand m croîtra indéfiniment. D'autre part, quand À^ et X^ augmentent indéfiniment, l'intégrale tend vers l'unité. Posons maintenant

a > mp (1 — e), et

a < mp (1 -f- e).

Soit F (s, m] la probabilité pour qu'il en soit ainsi. Je dis

que je puis prendre m assez grand, e étant donné, pour que la différence

soit plus petite qu'une quantité donnée tj. Choisissons d'abord un nombre X assez grand pour que

1 — / -^ e ZPQ

\l%zpq

soit plus petite que ^' Cela est possible puisque l'intégrale

tend vers 1 quand X augmente indéfiniment. Une fois X choisi, je prendrai m assez grand :

1^ Pour que

X < ep \Jm^ d'où:

F (e, m) > F /-4=' rn\ \ \p S m J

2° Pour que la différence :

cela est possible, car, pour X donné, la limite de la probabilité

F (-i=, m) est représentée par l'intégrale /

pour m = oo

On aura alors :

1 — F (e, w) < Tj.

En résumé :

La probabilité pour que x soit compris entre mp (1 __ e) et mp (1 + «), quelque petit que soit e, tend vers l'unité quand m augmente indéfiniment.

9. On peut se demander quelle est la valeur probable de oj" ; ce sera par définition

Si n est impair, cette intégrale est nulle. Si n est pair, elle vaut :

^ / hx^dx

Nous avons cherché la valeur probable de l'écart en valeur absolue ; cherchons la valeur probable de la valeur absolue

de a;", I a?" I . C'est

h\x^\ dx f,^^^ F ^

La fonction sous le signe / est paire ; cette intégrale vaut

donc