Prenons un exemple un peu plus compliqué. — Deux

urnes, qui ne diffèrent pas extérieurement, renferment la

première n boules blanches etp noires, la seconde w' blanches

et p' noires.

On fait tirer une boule à une personne, et on demande

quelle est la probabilité pour amener blanche. On pourrait

dire que le nombre total des cas est w -f- n' -j- P + P' ^^ ^^

, ,,.!•' n Ar n' „ ,.

la probabilité est — ; — ;; — ; ; — ;• On peut dire aussi que

deux cas peuvent d'abord se présenter, soit la première, soit la seconde urne ; le probabilité de prendre dans la première

est - » et dans la seconde - ^ car il y a autant de chances de

mettre la main dans l'une que dans l'autre. Si j'ai mis la

main dans la première urne, la probabilité est — j- — pour

que, prenant dans la première urne, on ait une boule blanche ; en vertu du théorème de la probabilité composée, que je ne tarderai pas à établir, la probabilité de mettre à la fois la main dans la première urne et d'en tirer une boule blanche

est- — -j— ;la probabilité analogue pour la seconde urne

, 1 n' 6St - ->- , — r In' -\-p'

La somme

est l'évaluation correcte de la probabilité demandée, et il n'y aura égalité entre les deux évaluations que dans un cas particulier :

c esl-a-dire - = — •

A quoi tient cette divergence? A ce que les n-f-n'-\-p-\-p' cas ne sont pas également probables.

Ainsi, supposons qu'il y ait deux fois plus de boules dans la première urne

La probabilité pour que je prenne une boule donnée dans cette urne est ^ ^ ^ — ; et pour que je la prenne dans la

seconde elle est

n 4- p) A la définition de la probabilité, il faut donc ajouter : à

condition que tous les cas soient également vraisemblables.

Citons deux autres exemples dus à M. Bertrand.

3. Problème des trois coffrets. — Trois coffrets identiques, A,B,C, ont chacun deux tiroirs, a, 8; ceux de A contiennent chacun une pièce d'or, ceux de B une pièce d'argent, et ceux de C ont l'un une pièce d'or, l'autre une pièce d'argent :