X -f- dx, et z -\- dz — x — dx
L'aire du parallélogramme est dxdz.
L'intégrale double sera la somme des éléments relatifs à chaque parallélogramme :
dxdz — e- f^'^' - h'-' (-- - ^)^ .
Dans une première intégration :
y eX z doivent être regardées comme constantes et x varie de — 00 à -j- 00 , L'intégrale est donc :
dz— e-mx-^-m{z-x)idx.
Posons :
P = A«a^2 ^ /^'2 [^rc ^)»,
c'est-à-dire :
P = (;i2 | j^r^ ^2 ^hl-iccz + K'^z'^, ou :
? = {ax — hf -f- c en posant :
Nous avons à évaluer :
e— P dx
OU
Çe-iax-br^-c (Ix,
Posons :
ax — i = ; ;
cette intégrale est
,c je-V^,
et comme -r ou ; varie de — x à -[- ^o ,
La probabilité cherchée, pour que z soit compris entre z et ^ -f- dz, est donc :
, hh' e-^ dz •
On a d'autre part :
La probabilité en question est donc :
, hh' e ' f'- + /''■dz -'
La loi de probabilité est normale.
La valeur probable de z^ ou de {x-\- y)' sera :
c'est-à-dire que la valeur probable de [x -\- yY est la somme de la valeur probable de x- et de la valeur probable de y^.
La valeur probable de '^xy est en effet nulle ici, et nous nous ne l'aurions pas su a priori^ si la loi de probabilité n'avait pas été normale.
Cette élégante démonstration est due à M. d'Ocagne.
4. Problème des épreuves répétées. — Deux événements contraires, A et B, ont pour probabilité respective p et q. Ainsi une urne contient ix boules blanches et v boules noires,
on en tire un très grand nombre de boules wi, en remettant chaque fois la boule sortie dans l'urne. Si l'on a tiré x boules blanches, il va beaucoup de chances, d'après le théorème de Bernouilli, que — diffère peu de l'unité.
* mp ^
La valeur probable de X^ sera égale à pq.
Changeons un peu les conditions, de manière que le hisard ne préside plus seul à la distribution des coups. Considérons deux urnes, la première renfermant a boules blanches et v noires, la seconde a' blanches et v' noires, et convenons de tirer alternativement dans l'une et dans l'autre.
Après un très grand nombre, m, de tirages, a blanches
sont sorties et m — a noires. — sera très voisin de p qui est
ici égal à :
1 [JL ,4 U.
Mais la loi des écarts sera-t-elle la même ? Il ne peut en être ainsi.
Supposons que la première urne ne renferme que des
blanches, la seconde que des noires : nous aurons tiré —
là
blanches et — noires. — sera éffal à - j et l'écart sera nul, p étant aussi -• La valeur probable de X^ sera zéro; elle
devrait être égale à - > car :
La loi des écarts n'est donc pas la même.
5. Je veux montrer que. si une autre cause que le hasard intervient, l'écart probable (ou la valeur probable de X') sera plus petit que si le hasard seul avait agi.
Les m épreuves forment deux catégories, l'une de pm, l'autre de ^m épreuves, et l'on a :
Supposons que les événements A et B aient respectivement, pour probabilités, p et ^ dans la première catégorie, p' et q dans la seconde.
L'événement A se présente a fois dans la première, a fois <lans la seconde ; B se présente ^m. — a et p'm — ot' fois.
Le nombre total des épreuves favorables à A sera x-\- ^ \
CL sera très voisin de Bmp, et a' de S'mp'; - — et —, — , s'écar-
amp p mp
teront très peu de l'unité; x -\- cl sera très voisin de
'^mp -}- fmp'. c'est-à-dire que l'écart sera de l'ordre de
grandeur de ym, de sorte que la répétition des événements sera à peu près la même que dans une seule série d'épreuves» . où les probabilités de A et de B seraient respectivement :
pp-fpy et P7 + PY- Cherchons la loi des écarts. Je vais poser :
a' =: ^'mp' -\-y sj^'m.
Pour l'épreuve totale, ce serait :
a + a' = m (pp + P'p') + ^" V^»
PP -\- p'p étant la probabilité de A dans l'ensemble des épreuves.
Il s'agit de calculer la valeur de X"^. D'une façon générale, elle est égale à pq. Si le hasard agissait seul, ce serait ici:
' Cherchons sa véritable valeur :
X" sjm = 1 v/pm -f X' v^p^, ou :
Les deux événements sont indépendants : la probabilité pour que X soit compris entre deux limites données est indépendante de la probabilité pour que X' soit compris entre deux limites données. 'Les lois de probabilités de X v'p et X' y^P' seront normales, et la loi de probabilité de leur somme X vP -j- X' v^p' sera aussi normale.
La valeur probable de À"^, (X"^), sera :
(X'-') = p (X^) + p' (X'=«) = ppq + p'p'g'.
Telle sera la véritable expression de la valeur probable du carré de l'écart.
Comparons les deux valeurs ; la différence est :
(pp + m {^9 + M - iPpq + P'pV),
ou, en rappelant que p -{- p' := i,
(Pi> + fp') {P9 + P'q) - [ppq + P'p'q') [p + P\
c'est-à-dire :
P?' {pq' -f p'q — pq — p'q)
ou :
PP'{p-p){q-q)-
Or :
La différence envisagée est donc positive.
6. On utilise cette propriété dans la statistique. On a relevé des observations dans un tableau, et on veut voir si les différences observées sont dues au hasard, ou si le hasard n'intervient pas seul.
On compare, pour un certain nombre de cas, le rapport des arrivées de A à celles de B, et on calcule la loi de répartition des écarts.
On répète cet examen sur plusieurs séries, et on observe si la loi des écarts suit bien la formule. Si une loi indépendante du hasard existe, elle agit toujours dans le même sens.
HUITIÈME LEÇOxN
1. Nous avons cherché la valeur asymptotique pour m très grand, du terme :
en supposant :
tt = mp -\- X \/m.
Cette valeur asymptotique de Ug. est :
Je pose a = me ; e diffère de p, et je cherche la valeur asymptotique du terme correspondant. On a:
X = (s — p] sini.
On pourrait donc être tenté de croire que la valeur asymptotique est :
e ^PQ
mjjq
mais cette expression est inexacte.
Nous avons supposé qu'on pouvait négliger des termes tels
que -j=zi X étant fini et \jm infiniment grand. Nous allons
chercher à former l'expression correcte du terme cherché. La valeur exacte de m» est :
Si m et a sont très grands, l'expression asymptotique de Ma est :
pXqt
Le rapport de ces deux expressions de m» tend vers l'unité toutes les fois que m et m — x augmentent indéfiniment, et que l'on a
a = ew,
e tendant vers une valeur finie.
Je vais simplifier l'expression asymptotique de m» •"
m"' tn ,
— a)'"-» V 27ra [m — a) ^*^"'
Soit a = tm; je pose :
m — a = e'm, d'où :
L'expression asymptotique devient :
et, comme w'" = w'"^ X w"'' :
Soit
alors :
/mp\m'- /mq\mz' / \mt) \mt'J V
