Appliquons ceci au paradoxe de M. Bertrand
Dans la première manière de raisonner, les variables étaient w et a, dans la seconde ô et p.
Dans la première manière, la probabilité pour que cd fût compris entre mq et w, était proportionnelle à w, — w^ ; pour que a fût compris entre a^ et a^ , elle était proportionnelle à a, — ao.
Cette probabilité se représentait par
dix) dx
If'
étendue à tous les systèmes de valeurs de w et x qui satisfaisaient à ces conditions.
Dans la seconde manière, nous avons supposé que 6 et p pouvaient prendre toutes les valeurs possibles avec une égale probabilité, et nous avons représenté la probabilité cherchée par
dbcl
ff
Ces deux hypothèses ne sont pas les mêmes, comme nous l'avons déjà constaté directement. Cherchons le déterminant fonctionnel ; on a :
dp = — sin a da. ; d.f) = dto -{- d%.
Ce déterminant
j 0 — sin a I 1 1
est égal à sin a. Donc la deuxième intégrale est :
// sin a c?oj c?a,
ce qui n'est pas la même chose que la première.
13. Autre exemple. — Soit une droite AB, dans un plan; ses coordonnées langentielles sont - et r'La probabilité pour que a et 6 prennent toutes les valeurs comprises entre certaines limites peut être par une première convention représentée par :
fjda bd.
Fk;. 4.
OÙ i = rt tgu), si w est l'angle de AB avec Ox.
On peut aussi dire : w peut prendre toutes les valeurs possibles ; d'où pour la probabilité
da du
Ce n'est pas la même chose, et cette seconde convention, qui, après un examen superficiel, pourrait sembler aussi légitime que la première, est en contradiction avec elle ; en
effet, le déterminant fonctionnel est — ^— » et
COS-'o)
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