On partage un bâton, de longueur 1, en trois parties
La probabilité pour que x soit compris entre x ei x -\- dx sera par définition proportionnelle à dx\ entre x^ et a?^, à
La probabilité pour que y soit compris entre y^ et y^ sera proportionnelle à y, — î/^, etc.
La probabilité pour que x eiy satisfassent à certaines positions est l'intégrale
ffdxdy
étendue à toutes les valeurs de a? et de ?/ qui satisfont à ces positions.
Cette probabilité serait aussi
ffdxdz.
et aussi
puisqu'on peut prendre a? et z, ou bien y et z comme variables.
Ces trois définitions sont ici équivalentes, on a
ffd^vdz =jjdœdy ^if|
et le déterminant fonctionnel est bien égal k 1,
2. Quelle est la probabilité pour que x^ y ei z forment un triangle ?
Traçons un triangle équilatéral dont la hauteur soit 1 : d'un point M, intérieur à ce triangle, abaissons des perpendiculaires sur les trois côtés. La somme des trois longueurs ainsi obtenues sera égale à la hauteur du triangle, c'est-àdire à 1 ; elles représenteront les trois
morceaux, x, y, z, du FiG. 5. ^ » ^) ' Pj^ g
bâton.
Le point M peut être considéré comme représentant le mode de division du bâton : quelle est la probabilité pour que ce point soit à l'intérieur d'une certaine aire ?
La probabilité pour que œ soit comprise entre x etx-{- dx, et pour que y soit comprise entre y et y -\- dy, est proportionnelle à dxdy. Le point M sera alors dans une aire com prise entre deux parallèles à BC menées à des distances x et X -\- dx àe BC, et deux parallèles à AC menées à des distances y et y -{- dy de AC. Le parallélogramme ainsi formé
a pour angles 120 degrés et 60 degrés, et son aire est
dxdy sin 60°*
La probabilité sera, dans ce cas, proportionnelle à l'aire du parallélogramme ; et, en général, elle sera proportionnelle à l'aire envisagée.
Le point M devant être à l'intérieur du triangle ABC, la probabilité pour qu'il soit à l'intérieur d'une certaine aire est le rapport de cette aire à la surface du triangle.
Joignons par des droites les milieux A' B' C des côtés du triangle. M doit être à l'intérieur de A' B' C pour qu'on puisse former un triangle avec a?, y, z\ si le point M est sur l'un des côtés de A'B'C, lune des équations suivantes est satisfaite:
z = x-\-y, X =zy -\- z, y = x -\- z\
si le point M est en dehors de A'B'C, l'une des trois grandeurs x,y, z est plus grande que la somme des deux autres. La probabilité pour que l'on puisse former un triangle
avec a;, y, z est donc - •
3. Problème de l'aiguille. — Sur une feuille de papier , sont tracées un certain nombre de droites parallèles et équidistantes; leur distance commune est d, et l'on jette au hasard sur la feuille une aiguille également de longueur d-.
Quelle est la probabilité pour que cette aiguille rencontre l'une des droites?
La question peut se poser d'une manière plus générale. Soient deux axes fixes ox, oy, et une figure fixe F invariablement liée à ces axes.
FiG. 8.
Soient d'autre part deux axes mobiles OX, OY, et un figure F^ invariable de forme, mais invariablement liée à ces axes, et par conséquent mobile avec eux.
Définissons la position de la figure mobile par rapport aux axes fixes.
FiG. 9.
Soit M un de ses points, MP une droite passant par M et invariablement liée à la figure F, : il suffit de définir la position de MP par rapport à xoy. Cette position e^ définie par
NEUVIÈME LEÇON l(fô
les coordonnées xy du point M et l'angle w de MP avec ox. La probabilité pour que M satisfasse à certaines conditions est proportionnelle à
dxdydiù.
Pour justifier cette définition, je vais montrer qu'elle est la même quand je prends un autre point M' delà figure mobile, ainsi qu'une autre droite M'P'.
La droite M'P' sera invariablement liée à MP.
Soient l la longueur MM', x l'angle de MM' avec MP et p l'angle de M'P' avec MP : /, a, p sont des constantes.
La droite M'P' est définie relativement aux axes xoy par les coordonnées x'y du point M', et l'angle w' de M'P' avec ox.
Si la probabilité pour que la figure mobile satisfasse à certaines conditions est, d'après la première évaluation,
/ / / dxdydiû^ elle sera aussi :
/ / / dx'dy'dià'.
Le déterminant fonctionnel est en effet égal à l'unité ; on a, par projections,
x' -= X -j- l cos (o> -{- a) y' =y -\- ^sin(a) + a)
et le déterminant fonctionnel " . . . est :
— l sin 'w -f- a)
Icos (oj -|- a)
c'est-à-dii
La loi de probabilité est donc la même, quelle que soit la droite MP choisie.
4. Si je considère deux figures <p, 9', égales entre elles et
invariablement liées aux axes mobiles, la probabilité pour que ;p' satisfasse à certaines conditions est égale à la probabilité pour que cp satisfasse aux mêmes p conditions. Considérons une
droite MP invariablement liée à
cp etune autre droite M'P' dont la
FiG. 10. ... ♦ ^ f * 1
position par rapport a cp est la
même que celle de MP par rapport à <p ; soient;», y, w, d'une
part, x\ y' , 0/, d'autre part, les quantités qui définissent la
position de ces deux droites.
La position de ^ est définie par x, y ei oi\ celle de cp', par a?', ?/', (i)'. Pour que cp satisfasse à certaines conditions, x, 3/, m devront satisfaire à certaines inégalités. Pour que :&' satisfasse aux mêmes conditions, x\ y\ oj' devront satisfaire aux mêmes inégalités. A la différence près des notations, on retombe donc sur la même intégrale.
La valeur de la probabilité est donc la même dans les deux cas.
5. On demande la probabilité pour qu'un segment de droite limitée, MP, rencontre les parallèles du problème de l'aiguille. Si une seconde droite, M'P', de même longueur, est invariablementliéeàMP, la probabilité pour qu'elle rencontre les parallèles sera la même.
Si, au lieu de MP, on considère une droite deux fois plus
longue, MQ, la probabilité sera doublée, puisqu'elle se compose de deux droites égales à MP, à savoir MN et NQ, N étant le milieu de MQ.
Je suppose qu'on promette à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection de la droite avec les parallèles (' ;. L'espérance mathématique du joueur avec MQ sera double de son espérance avec MN, puisqu'elle sera celle qu'il tire de MN augmentée de celle qu'il tire de NQ. En général, elle sera proportionnelle à la longueur de la droite.
Si NQ n'est pas dans le prolongement de MN, l'espérance mathématique est encore doublée. L'espérance mathématique est donc proportionnelle à la longueur totale de la ligne, qu'elle soit droite ou brisée, ou même, en allant plus loin, quelle que soit sa forme.
Si on promet autant de francs que de points d'intersection de la courbe avec les parallèles, l'espérance mathématique sera ainsi proportionnelle à la longueur de la courbe.
Si la courbe est une circonférence de diamètre (/, sa longueur sera tzcI\ dans ce cas il y aura toujours deux points
d'intersection, l'espérance mathématique sera donc 2. Pour
2.S une courbe de longueur 5, cette espérance sera --3; pour une
droite de longueur c/, —
6. Revenons sur le paradoxe de M. Bertrand, la probabilité pour qu'une corde d'une circonférence soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit.
Traçons une circonférence C, concentrique à la première C et dont le rayon soit la moitié du sien. Plaçons au hasard
(1) Bien entendu, si Tune des extrémités de MN tombe sur une des parallèles, cela comptera pour 1/2 intersection.
une droite dans le plan. Si nous adoptons la convention faite tout à l'heure au sujet de l'aiguille, la probabilité dépendrat-elle d'une nouvelle et troisième hypothèse, ou bien de l'une des deux précédemment examinées?
Je puis supposer la droite fixe et les circonférences mobiles. La probabilité pour que l'une des circonférences coupe la droite est proportionnelle à sa longueur ; la probabilité pour que C rencontre la droite est donc le rapport des longueurs
des deux circonférences, c'est-à-dire -• On retombe ainsi sur
l'une des hypothèses de M. Bertrand.
