Voici un problème analogue
Sur une sphère S on trace une figure mobile ; quelle est la probabilité pour que cette figure satisfasse à certaines conditions?
Comment définir d'abord la position de cette figure?
Soit P„ la position initiale, P, la position finale de la figure mobile : on passe de l'une à l'autre par ime rotation convenable, définie par l'axe de rotation et l'angle de rotation.
Soient a, p, y les cosinus directeurs de l'axe, et 20 l'angle de rotation ; posons
X = cos ô, u. =r a sin 6, v = p sin 6, p =^ ï sin 6,
et prenons X, a, v, p comme variables. Elles sont liées par une relation :
X2 + fi2 ^ v2-|-p2=: 1.
Je retrouve la même rotation, si je change les signes de X, ix, V, p, et il suffit de connaître trois de ces quantités.
Je suppose la probabilité représentée par une intégrale triple
elle sera représentée aussi par
Cherchons en effet le déterminant fonctionnel des nouvelles variables À, v, i par rapport aux anciennes a, v, p, et supposons À défini en fonctions de a, v, p.
XdX = — î^H"- — ^^^ — ?^?* Le déterminant fonctionnel est
Ainsi, au signe près, par le changement de variables l'élément de l'une des intégrales triples devient l'élément de
l'autre intégrale après multiplication par -•
/du.ds
et
/duhdo
donnent donc bien la même définition pour la probabilité. Voici comment se justifie cette convention : considérons la
no CA.LC.UL DES PROBABILITES
sphère :
Supposons que la probabilité pour qu'un point quelconque de la sphère se trouve à l'intérieur d'une certaine aire sphérique soit proportionnelle à cette aire. Cette aire s'exprimera par l'intégrale
/dccdy r
cos wS J
dxdy
cos wS étant le troisième cosinus directeur de la normale à la sphère au point considéré.
Nous avons fait ici une hypothèse tout à fait analogue, car
serait l'équation dune sphère dans l'espace à quatre dimensions.
8. Je suis parti précédemment de la position initiale P^. La rotation X, u, v, p ne dépend pas seulement de P,, elle dépend aussi du choix de la position initiale P^.
Je vais démontrer que la probabilité reste la même, si, au lieu de la position initiale P^, on en considère une autre P',,.
La rotation de P',, à P, sera définie par )/,u.',v',p', et la probabilité sera définie par
dy! dV dp
je dis qu'elle sera proportionnelle à la précédente. 7, w, n, r définissant la rotation de P'^ à P^, la rotation X',}a',v',p' sera la résultante de deux autres. Les formules con-
nues de la composition des rotations sont
X = )l — ;j.m — vw — ov
a = Àm -|- [kI — yr -{- prt
v' := In -{- i>.r ~\- vl — p?n
g' = X?* — aW -f- v/W -|- çl.
Il s'agit de calculer le déterminant fonctionnel de X',(j. ,v',p' par rapport à À, a, v, p. Je pose :
Ici 5 =r= 1, mais je puis supposer à X, a, v, p des valeurs quelconques au lieu des valeurs véritables. De même :
«' = V X'- + a'2 -f- v'2 -|- P^- Quelles que soient ces valeurs, on a :
a = a \fp -j- i/r -f n- -{- )-^, et si /, m^n^r ont les valeurs constantes données,
Il s'agit de calculer
en supposant <s = i, cest-à-dire :
ht.
Mais je vais porter le nombre des variables à 4, et considérer d'une part a, jx, v, p, d'autre part (î',a',v',p'. Comme ff' = ff, les dérivées partielles de a seront 1, 0, 0, 0.
Dp
Dv'
Dp
Dp Dp
C'est bien le même déterminant fonctionnel; on peut donc déjà écrire :
<i (n',v',p')^D((y',tA',v',p')^D (q,;x',v',p')^D (X',(A',v',p') DfX,fx,v,p)^ D ([i.,v,p) "~ D ((i,u.,v,p) D(X',a',v',p') D (X,jj.,v,p) D(<ï,[A,v,p)
Évaluons successivement les trois derniers déterminants fonctionnels. Le premier est
dT V
Dv
Dp'
Dff' X DX' «
Le second est :
