Cherchons <j/ [z

A.x^ -\- B est une fonction de z qui atteint son maximum pour z = x^■, soit u^^ ce maximum. Je puis donc poser :

A.x^ -j- B = M^ — u^\ u sera réel.

De même

/ [z — ^1)4* (-2') dz

est une intégrale qui est toujours positive, et ne s'annule que pour z -= x^ \ je puis donc la poser égale à v'^, d'où :

kx^ -f- B = M§ — w^,

{z — x^) if [z) dz = 2uafu.

Pour achever de définir m et u il faut s'en donner le signe, car nous avons seulement défini lâ et v^. Nous conviendrons de donner à m et à u le signe -|- si z est plus grand que x^ et le signe — dans le cas contraire ; w et u sont donc toujours de même signe.

D'ailleurs :

L'intégrale examinée devient, en faisant sortir une constante :

Ç'ïvdv e P"'.

Je puis supposer v exprimé en fonction de m :

^K^'>: = f(u)dii, , et alors :

/"•- du

doit être nulle, quel que soit p, lorsque les limites sont — X et -{- 3C .

6. Cela ne peut arriver que si f[u) est une fonction impaire. En changeant u en — ?<, on aurait :

Çf (— u) e-P"' du = o,

d où :

fif (w) + /■ (— «)] e~'"'' du = o.

Cette relation doit être vraie quelque grand que soit p. Si f (u) est impaire :

Si f (m) n'est pas impaire, je développe suivant les puissances croissantes de u. L'intégrale ne pourra être égalée à zéro quel que soit p.

En effet :

Je vais poser :

l'intégrale va devenir :

et elle doit être identiquement nulle.

Si nous multiplions par p" + 2 tous les termes, le premier ne contiendra plus p, et les autres le contiendront encore ;

l'intégrale, au facteur près p" + 2, se réduira sensiblement pour p très grand à

qui n'est pas nulle.

Donc f {u) doit être fonction impaire de u.