Ce résultat a été obtenu dans l'hypothèse

une question se pose: la loi de Gauss est-elle la seule pour laquelle ce résultat se produit? C'est la seule. Cherchons la valeur probable de:

Par définition c'est :

\J - e-''y'^ e-"^y^)-y^'^ dy.

On peut calculer directement cette intégrale ; on peut aussi développer e-"(yo-y/^ en série convergente pour toutes

les valeurs de y :

D'où:

De même, avec une autre fonction cp que celle de Gauss, / ? 'y) e-^^yo-y^-dy = 2 A^?/2/.^

^ -et-

Par hypothèse^ les valeurs moyennes de y^P seraient les mêmes dans les deux cas. Le rapport des deux intégrales serait donc 1.

Comme ce rapport reste le même quel que soit n, servonsnous d'un théorème précédemment démontré.

La limite du rapport

//•< [y) ?" {y) dy /a (y) ?" (y) dy

quand n croîtra indéfiniment, sera:

U (yo)

si, dans les limites de l'intégration, cp [y) atteint son maximum pour y r= 3^0.

Ici e~'y-yùi^ atteint son maximum pour y r=z y^\ la limite du rapport des deux intégrales est :

Comme ce rapport reste toujours égal à 1 :

y^ étant tout à fait quelconque, c'est dire que la loi de Gauss est la seule qui donne à y'^P la valeur probable que nous avons vue.