Supposons que la loi des erreurs soit quelconque

On a fait n observations, ayant donné n erreurs individuelles y,, 2/2- -M Vn- Prenons la moyenne des observations : nous commettrons une erreur, qui sera la moyenne des erreurs individuelles,

Gauss s'est proposé de calculer la valeur probable du carré de cette erreur ; c'est par définition :

/? (y,) ? (2/2) - ^ {yn) (y^+y^ + '-'+y-y dy.dy, ... dy^

Je développe ce carré :

/y. +.v. + .- + y.V = M , ^sy^.

La valeur probable cherchée sera :

La valeur probable du produit y^y.^ est j/^ X y 2] comme les fonctions y^ et y.^ sont impaires, y^ et y^ seront nulles.

Il reste donc :

y| + .vl + ••• +yf

L'intégrale se ramène à une somme de n intégrales ; mais chacune d'elles porte sur la même fonction :

multipliée par y\dy^^ ou yldy.j^ ... ou y\dyn- C'est donc la même intégrale aux notations près.

Donc la valeur probable du carré de l'erreur est :

wg y?, ng n

Ainsi la valeur probable du carré de l'erreur commise est le carré de la valeur probable d'une erreur individuelle divisé par n.

Cette propriété suffit pour justifier l'emploi des moyennes; elle a lieu quelle que soit la loi des erreurs.

La loi de Gauss est la seule pour laquelle la moyenne soit la valeur la plus probable.

Avec toute autre loi, la moyenne deviendra de plus en plus probable quand les observations deviendront de plus en plus nombreuses, mais elle ne se ra pas la valeur la plus probable.

8. Voici d'autres considérations qui, dans certains cas, peuvent justifier la loi de Gauss.

Cherchons la valeur probable de :

'Vi + y-, + ■■■-{- yn\ -"^^ .

c'est une fonction impaire que nous élevons à une puissance impaire : la valeur probable doit être nulle. Cherchons la valeur probable de :

Par une formule, généralisation de celle du binôme,

(y. + y. + ... + Vn?" = EâirT^TT 2^î'^^^^ - K^'

2p ., . cL.^l ... a

où :

a, +a2-j- ... + ocf, = 2p.

Il faut prendre la valeur moyenne de chaque terme et la diviser par n^P.

La valeur moyenne de certains termes sera zéro, si l'un des exposants a est impair. Tous les exposants doivent être pairs pour que cette valeur soit différente de zéro.