Traitons comme exemple
Les a ne peuvent être pairs que si : 1° x, = 4, et les autres nuls ; ou 2" a, = a^ = 2 ; ce qui conduit à :
R est l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est
4 ' nulle; le coefficient de Sy?t/| est ^ ^ r= 6.
Traitons encore :
Les a ne jieuvent être pairs que si : i" a, = 6; ou 2" a< = 4,
tta = 2; ou 3» a, = a., = ag = 2.
R étant l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est
nulle, on a :
H ' Le coefficient de Sy^yl est rr^r = *^> ^^ coefficient de
sy?yiyiest^,^;^,=.90.
Je m'en vais convenir de désigner la valeur moyenne de yÇ par Mp. D'abord la valeur moyenne de y, + ••• + y 2 + y/»)* sera :
Il (n — 1'
(y, + ^2 + - 4- y»)^ = nM, + 6 -^^-^ Ml.
En effet, dans Sy| tous les termes ont la même valeur
moyenne, et il y en a n; dans Syfy|, tous les termes ont la
, ., n(n — 1) même valeur moyenne et il y en a
La valeur moyenne de (y, -f- 2/2 + ••• + y»]^ sera :
Dans Sy]y|, il y a autant de termes que d'arrangements de n lettres 2 à 2 ; le coefficient de M^Ma est donc ion [n — l),
10. On pourrait poursuivre avec d'autres valeurs de 2/> ; les expressions deviendraient de plus en plus compliquées.
Tenons compte de ce que n est très grand ; il y a dans le second membre des termes en n, en n', en n^, etc.
A titre d'approximation, ne considérons que les termes du
CALCUL DBS PROBABILITÉS. 12
degré le plus élevé en n. Pour 2p = 4, ce terme est 3n^M| ; pour 2p = 6, ce terme est lon^'M!.
Ainsi l'erreur moyenne :
a comme valeur probable de sa quatrième puissance :
et de sa sixième puissance
Calculons cette valeur probable en général :
Dans le second S on ne permute que les indices des y. Ne conservons que les termes où tous les % sont pairs ; les autres ont une valeur probable nulle. Il vient :
{y, +• ^2 + - + y.7' = ^ , . 7" , , NMa,M«, ... Ma Tous les termes sous le second S,
ont, en effet, la même valeur probable. Soit N leur nombre ; évaluons N.
11. Je suppose d'abord a^ = a,. Si nous permutons |/^ et 1/21 nous retrouvons le même terme. Si nous tenions compte
de l'ordre, nous aurions autant de termes que d'arrangements 2à 2 de tx lettres choisies dans les w lettres y^^y-ii ... yn\ nous pourrions ainsi avoir des termes répétés.
Si les u. exposants étaient différents, N serait égal au nombre des arrangements de n letti"es a à [x, c'est-à-dire
Je suppose a, exposants égaux à a,, a^ à 04 , ... ulk à zg; de plus, je suppose a,, a,, ..., «k différents, et :
Je considère l'un des arrangements formés avec ces exposants ; j'y permute d'une manière quelconque les (x^ lettres dont l'exposant est a^, les 1x2 lettres dont l'exposant est a,, ..., les [iK lettres dont l'exposant est a^. Je ne change pas le terme correspondant ; par conséquent, ce même terme serait reproduit par :
arrangements.
(X, ! txj ! ... !xk!
IX ! {X, ! [x, ! ... U.K !
ix, ! 1x2 ! . . . jxK !
Ainsi N est un polynôme du degré ix en n.
La plus grande valeur que puisse prendre a est p.
En effet :
Les a étant tous pairs, la plus grande valeur de ix correspondra à :
Il n'y aura donc qu'un seul terme de degré p, par rapport
à n, dans N; avec notre ordre d'approximation, c'est le seul
que nous devons conserver. Réduit à ce terme, N a la valeur
suivante :
^ n{n — \) ... {n—p 4-1) pi
En effet, tous les a étant égaux, il en résulte que les lettres {x^, 1^2 •••' [^K se réduisent à :
fXg = ... = [Xk = O.
Dans N, le terme en 7ip est :
p\' 12. D'autre part, a^, a.^, ... ct^, étant égaux à 2 :
Mal = Ma, = ... = Maj, = M^,
OÙ M2 est la valeur probable du carré d'une erreur individuelle» La valeur probable de (i/^ -f- ,^2 + ••• + 2/«)''' ^st donc :
La valeur probable de y^P s'en déduit en divisant par n^p : — __2pl/M,y,
^ p\2P\nJ
Comparons avec le résultat donné par la loi de Gauss ; on doit avoir :
(âr=
OU
La loi de Gauss est la seule qui conduise à cette expression pour la valeur probable de l'erreur.
Pourvu qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques, et qu'on fasse un grand nombre d'observations, en prenant leur moyenne, on commet donc, avec cette moyenne, une erreur dont la probabilité est conforme à la loi de Gauss.
L'erreur commise avec un instrument est la résultante d'un très grand nombre de petites erreurs indépendantes les unes des autres, et telles que chacune d'elles n'entre que pour une faible part dans le résultat; l'erreur résultante suivra la loi de Gauss.
