Posons le problème d'une autre manière
On a commis dans les observations un certain nombre d'erreurs individuelles, t/^, t/g,.-- Vn^ indépendantes les unes des autres ; l'erreur totale est :
Supposons d'abord que toutes ces erreurs suivent la même loi, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques. Le problème est le même.
La valeur probable de y^p + i géra nulle.
Nous avons évalué dans la dernière leçon la valeur probable de
Ici nous avons à chercher la valeur probable de
La probabilité pour que yi soit comprise entre a et p, deux limites données,
/ ? {yi) dyi
est la même par hypothèse pour 3/4, 2/2, •••, y«-
Il nous suffit de multiplier le résultat obtenu pour la valeur probable de (a±li±..Jll.y' , e'est-à-dire ^ (^^J; par n^f, pour obtenir la valeur probable de y-^ :
i'"' = jr irr') '
et, en posant nM^ = M,
Ainsi la forme de cette expression reste la même, et, en raisonnant comme dans la dernière leçon, on conclurait que la probabilité pour que l'erreur totale y soit comprise entre deux limites données reste conforme à la loi de Gauss.
2. Ce raisonnement n'est pas encore satisfaisant, parce qu'il est peu vraisemblable que toutes les erreurs individuelles suivent la même loi. Supposons que la loi ne soit pas la même, mais que toutes les erreurs individuelles soien t sensiblement du même ordre de grandeur et que chacune d'elles contribue pour une faible part à l'erreur totale ; soient :
/ ?« (y<) dy^,
•>' oc
la probabilité pour que y, soit compris entre a et p ; / ?2 (^2) dPi^
la probabilité pour que y^ soit compris entre a et p ;
/ ®« (y«) dyn,
la probabilité pour que y^ soit compris entre a et p.
Je suppose toujours cp^, ^j»-- =pn fonctions paires, autrement dit qu'il n'y a pas d'erreurs systématiques.
Je prends la somme M des valeurs moyennes des carrés des erreurs,
Si toutes les erreurs particulières suivaient la même loi, on aurait la même valeur Mg pour yf, y|, ..., y\^ et la somme M serait nMj.
Je me bornerai au calcul correspondant aux premiers exposants.
En supposant que toutes les erreurs suivent la même loi, nous avons trouvé que la valeur moyeQue de y^ est M ; celle de y^ 3M2; celle de y**, 15 M^ ...
Refaisons le même calcul en supposant la loi différente pour les différentes erreurs individuelles. J'observe que le produit y'iyl a pour valeur moyenne la valeur probable de y^", multipliée par la valeur probable de y\. En effet, la valeur probable du produit y"\y\ sera représentée par
jy?i Kvk) <P2 (^2) y'"yldyKdy^v
le produit des valeurs probables de y'^ et de y'I sera représenté par
/?i (yi) y'x dytf(f^ [y^] y'é dy^.
Le théorème reste donc vrai dans ce cas-ci comme dans le précédent ; et si m est impair, la valeur probable sera nulle.
La différence, c'est que les valeurs probables de y^, y^, ..,, z/^, ne sont plus égales entre elles.
Remarquons aussi que les quantités o^, o-g' ••• ?« ^^'^^ censées du même ordre de grandeur.
