Nous avons cherché à rendre minimum

où hi est le poids de l'ohservation i.

On peut ramener le problème au cas où tous les poids sont égaux. Posons

zj — Zi V hi = \hiFi {u^. u.^, ... Up) et:

xî = Xi \hi ; alors :

hi {^-i — Xi)^ = (sjhiZi — sjhixif = (z/ — a;/^2,

et on a à rendre minimum une expression telle que :

2. Nous avons vu que l'on pouvait diriger les calculs de deux manières. Voici un exemple de chacune.

Premier exemple. — On observe un point M d'un certain nombre de stations S,, So, S3, ..., dont la position est parfaitement connue ; on mesure l'angle de MS,, par exemple, avec une direction fixe MSo, en d'autres termes l'azimut de M, soit ■^^ ; et ainsi de suite.

Quelle est la position la plus probable du point M d'après ces visées?

Soient a;, y les coordonnées de M ; a;, ô, celles de S,- ; <|>/ l'angle de MS/ avec MS^ pris comme axe des abscisses.

arc tg

y — bj X — a,

FiG. 18.

Les équations en »/ sont, en général, incompatibles, les lignes de visées ne passant pas exactement par M et formant autour de ce point un petit polygone.

Un point quelconque pris à l'intérieur de ce polygone sera une première approximation, M^ (a?oî Vq)' J^ pose

Ç et 71 seront de très petites quantités.

Posons :

(Dans le cas de la figure 19, a», serait négatif) .

D'ailleurs :

FiG. 19.

Développons cp,- suivant les puissances croissantes de l et tj, en nous arrêtant aux termes du premier degré.

0 L ^ K — ^i) — ^^ '.Vo — ^i)

yo — ^/

Soit

^0 — «/ '^ + (yo — ^i)'

(^0 - «.>^ + (yo - ^)'

Alors

f^i = 5>, — cpp = A,; -}- Bj-ïi.

La valeur observée de ^, est •}, :

6,- sera la valeur observée de w,-. Les équations que donnent les observations seraient les suivantes :

e, = A,; + B.Tfi.

Ces équations sont, en général, incompatibles, parce que les observations ne sont pas exactes ; il faut choisir ; et tj de façon que

S (A,-f + B.^ - 6,-)« soit minimum.

Je différentie par rapport à ; et à ■/) :

SA,- (A,-; + B,7i - e,) = o, SB,(A,-f, + B,Y,-£,-) = o;

d'où deux équations linéaires pour déterminer i et tj :

l^\' + r,3:AB = SAe, ^SAB + nSB» = SBe.

3. Deuxième exemple. — Supposons qu'on ait mesuré neuf angles : soient Zi les valeurs de ces angles, xt les valeurs observées, y, les erreurs. Imaginons qu'on ait entre ces neuf angles les quatre relations de condition :

-S'i + 2-2 4- -2-3 = TT,

h^ étant une quantité très petite donnée par l'observation, l'excès sur deux droits de la somme des angles observés,

d'où :

De même

y\-\-y-2 + yz = h\-

Va + 2/5+3/6 =Kyr + 2/8 + 2/9 = ^3-

La quatrième équation de condition exprime :

Il s'agit de déterminer les y de façon que la somme

soit minimum.

Je vais introduire quatre quantités auxiliaires, e,, 63, £3, e^, correspondant aux quatre quantités h^^ h^, A3, h^ Ainsi, pour 2/3, je me servirai du coefficient de 2/3 dans la première équation, où il est 1, puis dans la deuxième, puis dans la troisième, où il est 0, puis dans la quatrième, où il est 1.

On trouve de même :

yô — y^ = H^

VS = y-J = ^3'

2/7 = H H- ^A- Pour déterminer les e, je remplace les y par leur valeur :

d'où

et :

3 (si + £0 + -3) -f- 3e.i = ^, + ^2 4- ^3'

et ainsi de suite.

Ce procédé est ici plus commode que l'autre. 11 y a neuf angles et quatre équations de condition, d'où cinq arbitraires ; nous avons eu à résoudre quatre équations à quatre inconnues, et par l'autre méthode nous aurions eu cinq équations à cinq inconnues.

4. Autre exemple. — On a visé un certain nombre de points M^, Ma,..., M„ (jui ne sont pas en ligne droite et qui devraient l'être : quelle est la droite la plus probable ?

Il s'agit de déterminer n nouveaux points en ligne droite, de telle façon que la somme des carrés des erreurs soit minimum.

L'erreur est double : elle porte sur l'abscisse et elle porte sur l'ordonnée. Si je suppose que la probabilité d'une erreur sur l'abscisse soit la même que la probabilité d'une erreur sur l'ordonnée, la somme des carrés des erreurs sur l'abscisse et sur l'ordonnée sera la somme de quantités telles que

Nous avons besoin, en réalité, non des points P,-, mais de la droite D qui passe par les points Pj- : je dis que M/P,- doit être perpendiculaire àD.

Si elle ne l'était pas, soit M,- Pj cette perpendiculaire; en remplaçant M, P, par M/ P,', je diminuerai la somme qu'il s'agit de rendre minimum, et par conséquent elle n'était pas minimum.

Je ne m'occupe plus des P : je vais chercher une droite telle que la somme des carrés des distances des points M,- à cette droite soit minimum.

C'est le moment d'inertie des points par rapport à cette droite qu'il faut rendre minimum, en supposant que chacun des points ait été affecté d'une masse égale à 1.

Comme première propriété, la droite passe par le centre de gravité. Si on fait tourner la droite, on sait que le moment d'inertie varie suivant une loi très simple, qui amène à la définition de l'ellipsoïde d'inertie. Ici, cet ellipsoïde serait infiniment aplati, puisque les points sont dans un plan ; la droite est donc le grand axe de l'ellipse à laquelle il se réduit. Cette ellipse d'inertie serait d'ailleurs une ellipse très allongée, puisque les points sont sensiblement en ligne droite.