Dans le cas où l'on vise un point dans un plan, la pro

habilité d'une erreur en abscisse peut n'être pas la même que celle d'une erreur en ordonnée. Les deux erreurs peuvent aussi ne pas être indépendantes. Nous avons étudié ce point en détail dans la seizième leçon.

Nous avons été conduits à considérer, dans le cas du point visé, une série de petites ellipses ; la probabilité que les coordonnées du point soient comprises entre x et x -\- dx, y et y -\- dy, s'est exprimée par une fonction.

e^ dxdy,

et le polynôme du second degré P, égalé à une constante, nous a donné l'équation d'une de ces ellipses.

Revenons aux points en ligne droite.

Du point M, comme centre, je décris une ellipse homothétique à l'ellipse normale, et tangente à D. Je fais la somme des carrés des grands axes des ellipses ainsi décrites autour des divers points M, et j'écris qu'elle est minimum.

Ce cas se ramène aisément au précédent. Par une transformation homographique, ces ellipses peuvent devenir des cercles. Si, par exemple, le petit axe est la moitié du grand axe, on multiplie toutes les abscisses par 2, et on n'a plus qu'à chercher le moment d'inertie comme tout à l'heure.

6. Probabilité de l'erreur commise. — Le problème se divise en trois :

1° On peut se proposer de calculer la probabilité a priori.

On n'a pas encore fait les observations ; on sait seulement qu'on va en faire n et qu'on appliquera la méthode des moindres carrés. Nous connaissons aussi Thabileté de Tob- ' servateur.

CALCUL DES PROBABIUTÉS. 15

2° Le problème est entièrement différent, si nous ne savons pas à l'avance la valeur à attribuer à la constante qui entre dans la formule de Gauss. Nous ne connaissons pas l'habileté de l'observateur, mais nous contiaissons les résultats des observations.

3° Nous connaissons l'habileté de l'observateur et les résultats des observations.

7. Premier problème. — On ne connaît pas les résultats, mais on connaît l'habileté de l'observateur. On suppose alors que le poids est le même.

Soient ?/,, .V2v -i Vn les erreurs qu'on va commettre. x^., x^...., Xn seront les valeurs approchées des quantités vraies Zy^ ^2i'--» ^n-

Celles-ci seront liées par q ^=^ n — p équations de condition :

Si nous substituons h z^, z^, ... z^ les quantités x^, X.2, ... Xn, ces équations ne seront pas satisfaites et on aura :

*p,- {X^.| X.2, ... X/i) = (Xj-,

où jXj est très petit.

Je remplace x/c par i//c -f- ^k-, et je développe suivant les puissances croissantes de y^, en m'arrêtant aux termes du premier degré :

^iVi + ••• + A„2/„ = iii.

Pour fixer les idées, faisons w := 3, et supposons qu'il y

ait deux équations de condition :

lA, {jl' sont très petits, mais je ne connais pas leur valeur, puisque les observations ne sont pas faites.

Il s'agit de calculer les corrections y, à effectuer sur les valeurs observées cci ; les corrections dépendent évidemment de IX et de a', et nous aurons, par exemple :

Je ne connais pas la forme de 6, mais je puis développer suivant les puissances croissantes de jx et de a', et, comme les [X sont très petits, négliger les carrés des tx ; je serai conduit à poser :

y; = À^u. -j- Xjjx',

yk = ^3î^ + ^3!^''

en général

les X étant des constantes à déterminer, Gauss les détermine de façon que la valeur probable de (y, — yl)^, c'està-dire de :

soit minimum.

Il s'agit de la valeur probable en supposant que ton connaisse d'avance thabileté de V observateur , mais non les résultats. Si on connaissait les deux, la solution serait en général différente.

8. Pour bien faire comprendre cette différence, je vais examiner le cas le plus simple : on a observé plusieurs fois la même quantité z.

On prend la moyenne des observations, ce qui est conforme à la méthode des moindres carrés.

L'erreur commise sur la moyenne sera :

La probabilité a priori de l'erreur commise, pour la première observation, par exemple, sera cp(2/,) dy^.

La probabilité a priori pour que z soit compris entre z et z -\- dz sera (|/ [z] dz.

Cherchons la valeur probable de(^^ ~r ^2 ~r ••• i~ ^^j ,

quand on ne connaît pas les résultats des observations, et qu'on connaît (|/.

y^-^y-^^-'^y-\\[y^)^[y^y.^[y^)dy,dy,...dy,.

C'est la première valeur probable.

Si on connaît à la fois l'habileté de l'observateur et les résultats, on a une deuxième valeur probable très ditférente.

Dans le premier cas, on avait affaire à n variables indépendantes 2/^,2/2,... j/», d'où une intégrale multiple d'ordre n; dans le second, on n'a plus qu'une seule variable z.

Supposons qiiau lieu d'appliquer la règle de la moyenne et d'adopter, par conséquent, pour z la valeur :

n on ait adopté une autre valeur :

X\-\-X^-\-...-\-Xn I

l'erreur commise eût été égale à :

Nous aurions trouvé alors pour la valeur probable du carré de cette erreur sans connaître les résultats :

et pour la valeur probable de ce même carré connaissant les résultats :

/? {y\) ? (.Va) ••• ? (y») '\ [^) dz

Alors A atteint son minimum pour e = 0, pourvu que la fonction cp soit paire.

Au contraire, pour que B atteigne son minimum pour e==0, il faut que la loi de Gauss soit vraie.

Gauss s'était placé au premier point de vue dans l'analyse

que nous avons reproduite dans la quatorzième leçon, et il avait ainsi démontré que la règle de la moyenne est toujours légitime.

Il s'était placé au second point de vue dans l'analyse que nous avons reproduite dans la douzième leçon, et il avait démontré que cette règle n'est légitime que si la loi de Gauss est vraie.

1. Revenons au problème qui nous occupe et cherchons à déterminer les X, Il s'agit de rendre minimum

jjL et \j! sont des fonctions linéaires des y ; donc c'est un polynôme homogène et du second degré, par rapport à y,, y2'---ï 2/n> ^^'il faut rendre minimum.

Par hypothèse, les poids sont les mêmes.

Soit m^ la valeur probable de yl ; w^ sera aussi la valeur probable de t/|, et celle de y|.

Si nous avions à faire trois observations, nous n'aurions pas le droit de supposer à Vavance y, plus grand que y., ou que y^.

La valeur probable du produit y ^î/g sera nulle : elle sera le produit de la valeur probable de y^ par la valeur probable de ^2, et la valeur probable de y^ est nulle puisqu'il n'y a pas d'erreurs systématiques. Cela est vrai, parce qu'on ne connaît pas les résultats observés, et ne le serait plus si on les connaissait.

Comment trouver la valeur probable du polynôme? On remplace tous les termes carrés par m-, tous les doubles produits parO.

Ce polynôme, si on substitue à [x et {x' leur expression en fonction des y, devient :

le coefficient de y\ est (>.^A^ -j- ^l^i ~ 1)^5 celui de y\ est /^Aa -h XjBa)*; celui de t/§ est (X^Ag + \[^^f. Donc :

Voilà ce qu'il faut rendre minimum,

2. Appelons m'^P le second membre : il représente la valeur probable du carré de l'erreur, (?/, — y [Y, qui subsiste après la correction.

Égalons à zéro les deux dérivées.

dk^ dl[

c'est-à-dire :

et par symétrie :

Ce système peut s'écrire :

X,SA2 4- X;SAB =: A^, X,SAB + X;SB2 z=B,.

Il est linéaire par rapport à X^ et X^' .

J'y ajoute l'équation qui donne t/,' :

En éliminant 'k^ et Xj :