Je dis que l'on a identiquement

En effet :

y! = tAi -\- e'Bf ^ytyî = eSA,z/, -f e'SB,2/i = ÊM- -h eV S2//2 =: eEA,y/ + eSB,y/ = e|x + eV'.

Autre identité :

S2/2 := Hy'^ + s (2/ -y')2.

En effet, en développant 'L (y — y'Y :

ce qui est bien une identité, puisque en vertu de la précédente identité :

S2/'2 __ 2S2/2/' + Sy'2 = o.

9. Cherchons la valeur probable S?/'^. C'est une forme quadratique par rapport aux y.

On multiplie m? par la somme des coefficients des termes carrés, ou, autrement, on considère \ équation en S.

Soient F et F' deux formes quadratiques par rapport à n variables; si S est une constante,

F - SF'

sera encore une forme quadratique par rapport aux n variables.

En écrivant que le discriminant est nul, on obtient une équation d'ordre n en S, dite équation en S.

La propriété de cette équation est de ne pas changer quand on fait un changement linéaire. de variable: c'est une équation invariante.

Supposons maintenant que nous nous proposions de calculer la valeur probable d'une forme quadratique F ; je prends F' = S y-. Ecrivons que le discriminant de

F — SSy2 est nul.

La somme des racines de cette équation est la somme des coefficients des carrés.

Soit

F = ky\ + My\ -f A'Vi + iBy^y, -|- m'y.y^ + SB^^y^. Le discriminant donne :

238 GALGIFL DES PROBABILITES

OU

La somme des racines est bien A -}- A' -f- A" ; d'autre part, la valeur probable de y? étant m^ et celle de y^y.^ étant 0, celle de F sera :

Comme règle, on forme donc F — S S y^, on prend la somme des racines de l'équation en S et on multiplie par m^.

10. Appliquons ceci à la forme quadratique S y'^. Soit la forme

$ = Si/'2 — ss2/^

ou :

$ = (l-S)Sy'2 SS(t/-2/T.

Formons l'équation en S et cherchons la somme des racines.

Les quantités y' s'expriment linéairement en fonction de n — p d'entre elles ; Sy ^ se décompose donc en une somme de n — p carrés, et l'on a, les ? étant des fonctions linéaires des 2/,

^y" = ll+n + ... + l\-,.

Les y — y s'expriment en fonction de p d'entre elles, et l'on a, les r\ étant des fonctions linéaires des y,

2(t/-2/T = -^?+-ni + - + V.-

Les n fonctions linéaires ainsi obtenues sont linéairement indépendantes. Si elles ne l'étaient pas, remarquons qu'on a :

DIX-NKUVIÈME LEÇON 239

Le premier membre est une somme de n carrés :

y il Vil ••••! y n j

le discriminant de la forme du premier membre est 1. Le second membre ne peut avoir pour discriminant 0. On a ainsi :

<ï» = (1 — S) Sç2 SS^.

Le discriminant est :

(S— lj»-''S^ = o;

n — p racines sont égales à 1 , et p égales à 0, la somme des racines est w — p.

La valeur probable de ^y- est nm^ ; d'après la règle exposée plus haut, la valeur probable de Sy'^ sera:

Sy'^ = [n — pj ni^.

Donc :

S (y — y Y = prrî^, par différence.

Ainsi : l** la valeur probable de la somme des carrés des erreurs commises est nm^; 2° la valeur probable de la somme des carrés des corrections faites est (n — p)m^ ; 3° la valeur probable de la somme des carrés des erreurs après corrections esX'pm^.

11. La valeur probable de Sy'^ est plus petite que la valeur probable de Sy^.

C'était aisé à prévoir.

Nous cherchons à déterminer les corrections de façon que la somme des carrés des corrections soit minimum : c'est le principe même de la méthode des moindres carrés.

A mesure que les observations augmentent, si nous considérons l'erreur commise sur une observation, nous allons démontrer qu'elle tend vers zéro.

Supposons que les observations augmentent constamment ; le nombre p demeure constant, ainsi quepw^ ; le nombre des termes va en augmentant : il y a des chances pour que chaque terme diminue constamment.

Si nous considérons la plus petite des quantités [yk — y'kfi

elle sera certainement inférieure à

Observons une même quantité n fois ; une seule variable

indépendante : p = 1.

^{y — yy = m^'

Nous avons n termes, n observations faites dans les mêmes conditions ; donc :

12. Jusqu'à présent, nous avons supposé que la précision était connue, mais que les observations n'étaient pas faites.

Le problème se pose autrement; on ne sait rien sur la précision, mais les observations sont faites.

Nous voulons en conclure la valeur de h ou celle de m^.

Voici la solution.

Les y ne sont pas connues ; les y' le sont par la méthode des moindres carrés. S?/'^ est connu.

J'égale sa valeur à la valeur probable calculée a priori:

Ey^ = [n — p) m^, d'où m^.