Cette méthode est critiquée par M. Bertrand
En effet, si on lavait appliquée à une autre combinaison, par exemple Sy'"*, on en aurait déduit une valeur de m qui n'eût pas été la même. La méthode peut devenir suspecte.
C'est un problème de probabilité des causes, et nous appliquerons les règles de ce calcul.
On demande la probabilité a posteriori pour que h soit compris entre certaines limites.
Cette probabilité est
Ui est la probabilité a priori de la cause, c'est-à-dire pour que h soit compris entre h et h-{- dh; pi est la probabilité pour que, si la cause a agi, les observations aient donné des résultats respectivement compris entre x^ et x^ -f- ilx^ , x^ et a?o + dxo... x„ et x„ -j- dx,,.
Cherchons la valeur probable d'une fonction de h,f [h] ; cette valeur probable est :
Faisons de suite la remarque que le résultat va dépendre de la probabilité a priori; le résultat de Gauss ne peut donc déjà être tout à fait exact.
Si je détermine h par
cette valeur probable de h dépendra de la fonction.
Si je cherche la valeur la plus probable, ce sera la même chose.
CALCCL DES PROBABILITÉS. 16
On peut se tirer d'affaire à une condition : c'est que le nombre n soit très graiid. Le facteur xsi n'a plus grande influence; ainsi, pour
toutes les méthodes conduisent au même résultat, si toutefois le nombre des observations est très grand.
1. Lorsqu'on observe une quantité z , et que les observations ont donné x^, x.^.... a?„, on peut représenter cy, et /), par
xsi = <]/ {h,z) dhdz.
Pi = ndXfdx.2 ... dx^.
où:
hï.y^
La probabilité a posteriori pour que h soit compris entre h et h -\- df}, et z entre z et z -\- dz, est :
n<|/ {h,z) dhdz dx^dx.j ... dx„ I II']/ {h^z) dhdz dXfdx.^ ... dx,^
Les différentielles cte^, c^a^j, ... dx„ disparaissent dans ce rapport, et il faut intégrer par rapport k h de 0 à -j- ac et par rapport à z de — x à-f-oc.
Imaginons que, au lieu d'une quantité z, il y en a n, z^^ Z.2,... Zu, qui sont fonctions de p variables u^, u.^, ... Up, et que les valeurs observées des z sont x ^^x.^, ...x„\ les erreurs commises sont y,, y^i ••• y».
cj,- sera la probabilité a priori de la cause: ici, pour que h soit compris entre h et h -\- dh, et pour que u^ soit
compris entre u^ et u^ -^du^, u<^ entre u^ et u<^ -\- du^ ...,
CT/ = <]/ (A, M,, ^2, ••■, Up) dh du^du^ ... o^Wy,.
Pi sera la probabilité de l'effet en supposant que la cause ait agi.
Pi= ÏIdx^dx.^ ... o?a7„, où:
■Alj2.
La probabilité a posteriori sera :
H']/ (A, M^, t^-j ..., Up) dh dundu^ ... du,, dx^dix.^ ... dx,^
I n<]/ (A, M^, ^2 ..., U/j) dh du^du^ ... c?My, dx^dx^ ... o?^/»
II faut intégrer par rapport k h de 0 à -|- oo , et par rapport aux if de — x à -f- oo ; quant aux différentielles des x, elles disparaissent comme précédemment.
La probabilité cherchée s'écrit donc :
Yi<\)dh dUfdu2 ... dup I îl^dh du^du.2 ... dUp
2. Elle dépend de la fonction <]/ qui est entièrement arbitraire, et qui est soumise à l'idée que nous nous faisons a priori de la valeur des u et de l'exactitude que nous attribuons a priori aux observations; mais -} ne joue pas le plus grand rôle si les observations sont nombreuses.
Je vais appliquer à cette fonction i}/ une forme particulière, en supposant qu'elle ne dépend que de h.
On justifie cette manière de voir en disant que les mesures donneront en général aux u des valeurs très voisines les
unes des autres ; qu'elles sont comprises dans un petit intervalle où la valeur de z variera peu si les observations sont concordantes.
La valeur probable de h» sera :
Av='
/ Yi'lfh^dh du^du.2 ... dup I Il'ldh du^du.2 ... dUp
Ces deux intégrales doivent être calculées de la même manière : h\ varie de 0 à -f- ^ et les m de — oo à -f- x .
3. Qu'est-ce que Sy^ ? C'est une fonction de .c,- qui est connu, et de Zi qui est une fonction des ti.
Par la méthode des moindres carrés ; on obtient comme valeur à adopter pour M/ la valeur u'f : les valeurs des u ainsi définies ne sont pas exactes, mais elles sont les plus convevables à adopter.
M,- = u? -f Vi,
Vi étant très petit.
Les yt sont des fonctions des y, et on peut les considérer comme des fonctions linéaires des r, en négligeant les carrés.
Le polynôme
sera du second degré par rapport aux u, mais non homogène ; il atteint son minimum quand les v sont nuls. Les équations
rfP
dvi
doivent être satisfaites quand les v sont nuls.
Donc P ne renferme que des termes du second degré et
du degré zéro; il n'y a pas de termes du premier degré.
P := Po + P,.
P^ est le minimum de Si/-^, ce qu'on a appelé Sy'^, dont la valeur probable est {n — p) m'^. Donc Pq est très grand en général, et il y a d'autant plus de chances qu'il soit grand, qu'il y a plus d'observations.
A étant une constante.
Le polynôme P^ est obtenu en additionnant entre eux les termes du second degré ; il y a un très grand nombre de carrés, il y en a w, et les coefficients du polynôme Pj sont du même ordre de grandeur que n,
Q étant de l'ordre de grandeur de A.
La valeur probable de h-^ sera :
/iv z= ^^ — ~ ;
Tij; (-y e-M«-;')(A:+.Q) dhdv^dv^ ... dvp
on intègre par rapport à A de 0 à -}- ^ > 6t par rapport aux V de — 00 à -|- "^ •
