Si n n'était pas très grand, on aurait à rendre maximum
d'où:
si n est grand, la valeur de h est à très peu près celle qui
rend maximum $ [h).
* ~" 2A ~ 2Si/'2'
car :
Sy2 = (n__p)A;
ce résultat est conforme à la loi de Gauss :
Sy 2 = (n — p) w?.
La valeur probable du carré de l'erreur est :
d'où :
et par suite :
c'est bien la même valeur.
Il ne faudrait pas attacher grande importance à ce qu'on a raisonné sur n — ^ au lieu de n, parce que n est très grand
et que ^ est voisin de 1.
La règle est donc justifiée si le nombre des observations
est très grand.
1. Je vais appliquer la méthode des moindres carrés à une question nouvelle, la recherche dune fonction inconnue f [x).
Nous mesurons certaines valeurs de cette fonction.
/•(a<) = A,, fia^ = Aa,
Construisons la courbe :
dont on a ainsi un certain nombre de points.
On pourrait toujours, par ces points M,, Mg,... M„, faire passer une courbe, mais cette solution ne serait pas la meilleure : on fait passer une courbe près de ces points, aussi continue que possible.
Un autre procédé présente aussi un certain degré d'arbitraire comme le procédé géométrique : je veux que ma courbe soit de degré q aussi petit que possible.
flx) = Co H- C^a; + ... + Cgx^.
q est plus petit que n — 1 ; car si q était égal à n — 1, on aurait une fonction satisfaisant exactement aux conditions. Quelle valeur attribuer à 5* ? Cette valeur est arbitraire. On la choisit d'abord assez petite, puis, si elle est insuffisante, on introduit un terme de plus dans le second membre, et ainsi de suite.
2. Laissons de côté ce mode de tâtonnements et supposons q choisi.
Nous déterminerons les coefficients du polynôme de telle façon que
2[rK)-A,P soit minimum.
f{x) est linéaire par rapport aux coefficients C.
Je vais poser:
La question se rattache au développement en fraction continue du rapport
Ce développement s'opère comme si l'on cherchait le plus grand commun diviseur de F et de F'. On aura successivement :
II n'y a pas de terme R„ dans la dernière équation, car R„r^o.
En général, F est de degré w, F' de degré n — 1, R, de degré n — 2, Rp de degré n — ;> — 1, R„ , de degré 0 et tous les Q de degré 1 .
On a:
Ainsi
3. Nous avons à considérer les réduites successives de ce développement. Comme
à la place de :
je puis écrire :
Si je pose :
j'aurai :
Si je pose :
j'aurai :
Nous exprimerons de la même manière un quelconque des restes successifs.
Comme :
R,- + 2 = (N,-F - D,F') - Q,^, (NhhF - D,^,F'). Si je pose :
j'aurai encore :
Rh2=N,-,,F-D.,,F'.
Sur ces relations de récurrence, on constate que : R^, R2, ... etR„2 sont respectivement de degré w — 2, w — 3, ... et l, et
VINGT ET UNIEME LEÇON 2oa
que R„„ , est une constante. N, est de degré 0, Nj de degré 1, ..., N, de degré * — 1. On voit aisément que si celte proposition est vraie pour Njet N,^. ^ , elle l'est encore pour N/^ 2- D,- est de degré i.
4. Je dis maintenant queN, et D, sont le numérateur et le dénominateur de la réduite d'ordre i.
Les relations de récurrence le rendent évident; mais on peut le voir autrement.
J'écris la suite
R/-2 = Q/R<-, +Rn
d'où je déduis :
R,-l Je puis encore écrire l'équation suivante :
Supposons que l'on veuille calculer la réduite a, 1
Je n'ai qu'à faire R, = 0 dans l'égalité précédente, et faire aussi
les R étant devenus des R'.
On a entre les R' également des relations de récurrence.
Rj est nul ; donc, N, et D, étant les mêmes que plus haut,
NA-D,a, = o,
y^ est bien la i'^ réduite.
Quelle relation y a-t-il entre cette réduite et le problème proposé?
