Quand on a affaire à la fraction rationnelle jr» et que

Q n'a pas de racines multiples et s'annule pour a? = a, le résidu pour ic = « est ^. ; ;•

Prenons pour a l'une des valeurs qui nous a servi à calculer f [x) ; le résidu par rapport à « de

sera

ou :

at^D, [a] Y' [a) F' {a) '

aH-D,- (a).

Ainsi, pourvu que {a soit plus petit que i :

llaV-Di (a) = o,

la sommation étant étendue à toutes les valeurs de a :

Il en résulte que si P,< est un polynôme quelconque d'ordre i — 1 :

SP,, (a)D,(a) = o.

Prenons :

alors :

SDa (a) D, (a) — o.

Cette équation est vraie pourvu que k soit plus petit que i.

Mais, comme rien ne distingue les deux indices, cette équation est encore vraie toutes les fois que k est différent de i.

Les polynômes de Legendre ont une propriété analogue ; pour deux d'entre eux

on a :

j v«v„rfT = O ;

ici, au lieu d'intégrales, on considère des sommes finies,

7. Nous voulons obtenir un polynôme d'ordre q plus petit que n — 1, dont les coefficients seront choisis de telle sorte que

S[A,-/(a;)r soit minimum.

Si f [x) est un polynôme d'ordre ^, il peut toujours être mis sous la forme

f [x) = Co + C^D, [X) + C2D2 {x) -f ... + C,D, {x).

Il s'agit de déterminer les coefficients C de façon à rendre minimum la somme des carrés

S (A - Co - C,D, - C2D2 - ... - C,D,)2.