Développons ce carré

Sur une première ligne, nous mettrons les termes carrés :

SA2 -f nCl + C2SD2 + CiSDi + ... + qsD^.

Sur une seconde ligne nous mettrons la somme des termes rectangles tels que

— 2Co2A — 2C<SAD, — ... — 2CçSADç, où :

SAD, = k,D, [a,) + ... + A„D, (a„).

Sur une troisième ligne nous mettrons une somme de termes tels que :

2CeC,SD, + 2CASD,Da.

Or:

SD, [a) = o

SD^D^ = o.

Restent la première et la deuxième lignes. Je puis d'ailleurs abréger l'écriture en posant :

1 = Do [x).

La somme des termes à rendre minimum se réduit à :

SA2 + SC?SDf — 2SQSAD,-.

Je diflérentie par rapport à C, et je divise par 2 ; en égalant à zéro la dérivée par rapport à C, :

d'où l'expression suivante pour C, :

c'est-à-dire :

C A,D,- (g,) + A,D,- fa,) + ... -f A„D,- (aj

L'analogie avec un autre problème d'analyse est évidente. Quand on veut développer une fonction /" (a;) en série procédant suivant les polynômes de Legendre, on arrive à

où:

I f [x) Xi<ùc C . — -^

X}dx

Ici les relations sont du même genre, sauf que, au lieu d'intégrales, figurent des sommes.