Quel est l'avantage de ces polynômes D

Je suppose que l'on ait essayé d'abord de représenter les observations par un polynôme de degré ^ : on a trouvé alors Co, C,,..., Cç. On constate ensuite que la somme des carrés des erreurs commises est inadmissible : on se résigne alors à poursuivre avec un polynôme de degré ^ -f- 1 . Tout serait à recommencer, si l'on avait eu recours à un procédé quel-

conque ; ici, au contraire, on n'a qu'à ajouter un terme Cç+^Dç+^ {x) : les précédents coefficients C^, C^...^ C,, ne changent pas comme on le voit sur l'expression de Cj.

10. Le problème se pose déjà quand on veut simplement interpoler une fonction : pourquoi prend-on habituellement comme solution un polynôme d'ordre n — 1 ?

Voici une fonction / (ic), holomorphe à l'intérieur d'un certain contour, d'un cercle par exemple. Les valeurs que nous avons données à la variable sont petites par rapport au rayon du cercle.

Pour les valeurs «^, a^...^ an de la variable, on connaît la valeur de la fonction. 11 s'agit de connaître la valeur de la fonction pour une valeur x à l'intérieur du cercle.

L'intégrale

r{z)dz)

{z — x) [z — a^) [z — «2) ••• [z — ««) s'annule prise le long du cercle. D'autre part :

f{z) dz

X] [z — aA[z — a.

est la somme des résidus de la fonction / {z) pour les pôles a?, «^, a2T'-î ^"î c'est-à-dire :

{x—a^)[x—a^..\x—a,^^ [a^—x){a^—a.-^...{a^—an)

J'appelle en général Pj le polynôme que l'on obtient en supprimant dans :

le facteur z — a,, et en remplaçant z par a,.

•• -F(a;)+ P, + Pa "^ "^ P„ ' d'où:

11. Telle est la formule générale de l'interpolation; au second membre figurent : 1° un polynôme entier ; 2" l'erreur commise qui est JF.

Cette erreur est

f{z) dz oc gj X flg X Un

'^iiz ) z — X z — a^ z — «2 ^ — ^1

Si R désigne le rayon de convergence, et que x soit assez voisin de a, pour que :

X — aA< —,

rjr* /7 . \

chacun des facteurs — '- sera plus petit que -? et sous le

signe I Hy am de ces facteurs.

Donc JF sera très petit si n est très grand.

S'il était seulement probable que le rayon de convergence ait une certaine valeur, on serait en présence d'une question de probabilité.

1 . Je suppose que l'on sache a priori que la fonction / [x) est développable, dans un certain domaine, suivant les puissances croissantes de x.

/H = Ao + A^a7+ ...

Nous ne savons rien sur les A, sauf que la probabilité pour l'un d'eux, A,-, d'être compris entre certaines limites, y et y -f dy, est :

— e H'fidy.

Nous connaissons par n observations

Nous cherchons la valeur probable de f{x) pour une autre valeur de x.

C'est un calcul d'interpolation, avec cette différence que nous cherchons un polynôme limite.

Je me hâte d'ajouter que je considère la question comme un simple exercice de calcul, car j'ai introduit arbitrairement

la loi de Gauss ; autrement le problème resterait indéterminé.

2. Nous avons à déterminer les coefficients A, en nombre infini de la fonction, à l'aide de n observations : ici, il y a plus d'inconnues que d'observations, et nous ne pouvons nous guider que par l'idée que nous nous faisons a priori de la loi de probabilité.

Nous nous élevons ainsi en généralité plus encore que nous ne l'avons jamais fait jusqu'ici, puisque nous avons à déterminer une fonction inconnue.

Je vais d'abord ne prendre qu'un nombre fini de coefficients.