QUESTIONS DIVERSES
55. Étude d'une martingale. — Un joueur risque en une seule partie la somme ,3 qu'il veut consacrer au jeu; s'il perd la première partie il se retire du jeu; si, au contraire, il gagne cette partie, il en joue une seconde en ajoutant à la première mise la somme qu'il a gagnée. Il continue de même jusqu'à ce qu'il perde, ou jusqu'à ce qu'il gagne n parties.
Soient a le bénéfice éventuel dujoueur à la première partie, /> la probabilité de le réaliser; nous allons calculer les espérances de gain et de perte.
La probabilité pour gagner étant p, la probabilité pour gagner n parties de suite est />"; multipliant cette probabilité parle bénéfice éventuel correspondant, nous obtiendrons l'espérance positive du joueur. Or, d'après l'énoncé du problème, le joueur possédera la
somme a + p après la première partie, la somme — gJ^^ api'f s la
seconde, — ^^ après la troisième et — „,,, après la « . Après cette n'*""* partie, il possède donc la somme
et son espérance positive a pour valeur
son gain est donc
pn
38 I.. li.U.IlKl.IKIl.
son pspt'raiict' lU'jîalivi' est
par suite son espérance totale a [xuir valeur
elle se réduit liii-ii à zéro (|uaiid \c jeu est équitable, c'est-ii-ilire
lorsque
La comlMiiaison dite martin^a/e ne peut donc rendre un jeu avantageux ou désavanlageux, si, à chaque partie, le jeu est é(|uitai)le.
56. Au contraire, si le jeu est avantageux, cette conii)inaison augmente son avantage, elle l'augmente même plus que toute autre (à égalité du nombre des parties jouées) puisqu'elle permet de jouer le plus gros jeu |)ossible.
Supposons que le joueur riscjue seulement i franc au jeu et qu'il
doive jouer au maximum trois parties avec la probabilité de gain — • S'il joue la martingale, son espérance positive esti,5i2, son espérance négative o, 784 et son espérance totale o, 728.
Si le joueur ne risque que i franc par partie, son espérance positive est 0,930, son espérance négative ", '|r)G et son espérance totale o,/'i4.
Le jeu de la martingale est donc beaucoup plus avantageux, son avantage croîtrait d'ailleurs très vite, si l'on considérait un plus grand nombre de parties.
Supposons encore, pour sim[)lifier.(iue a = ^ = i, la probabilité de gagner en jouant n parties est //' et. le bénétice correspondant est 2" — i .
Si « croit indéfiniment, la probabilité />" tend vers zéro quel que soit/? et le gain 2" — i tend vers l'infini.
L'espérance totale devient infinie, nulle ou égale à — i, suivant que
p est supérieur, égal ou inférieur à - •
57. Problème des partis. — -4 chaque partie, il y a prohabilité p pour que le joueur A gagne et probabilité q = i — p pour que le joueur
B gagne.
Le jeu prend fin quand le joueur A a gagné m parties ou quand le joueur B en a gagné n. Quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à la ul"^""^ partie par le gain du joueur A ?
(uL doit évidemment être compris entre m et w + « — i .)
Pour (jiie le jeu se termine h la u.''"'" partie par le gain du joueur A, il faut que ce joueur gagne la dernière partie et m — i autres parmi les ij. — I précédentes.
La probabilité pour que, sur u. — i épreuves, un événement de pr(d>abilité p se produise m — i l'ois est (n° 42)
'"^ ji'"-'qV--"'.
(in — i)] (y. — m]
Il faut multiplier cette probabilité par p puisque la ui.'''"'^ partie duit produire un gain, la probabilité demandée est donc
(m —i)]{ix — m)
-/>"'çV
La probabilité pour que le jeu se termine à la (j.'*""" partie par le gain du joueur B est de même
(n — i)!(iLt — «)!
La probabilité pour que le jeu se termine à une partie indiquée est la somme des probabilités relatives à chaque joueur pour cette partie.
La durée moyenne du jeu, ou valeur moyenne du nombre des parties, est
(X=ni + n — 1 i^ = m-\-n-\
IJ. = m p. = n
.58. Quelle est la probabilité totale relative à chaque joueur? La probabilité totale de réussite du joueur A est
