I -t- Il II

La rt'clicirlic (les probabilités totales P et Q consliluc le prohlrmc des partis.

Si le gai^uant doit toucher la soninie x, le p:irli du joueur A, c'est-àdire son espérance nialliéniatique, est Pa; le parti du joueur B est Qx.

59. On peut obtenir les valeurs des probabilités P et Q sous une autre forme :

Désignons par 5 la (|uantité m + n — \ (|ui exprime la j)lus longue durée possible du jeu, nous allons supposer que le jeu se continue jusqu'à la s'*°" partie et, parmi tous les cas possibles, nous considérerons ceux qui sont favorables au joueur A.

Soit le développement

■S . •* ( -5 — ' ) ». (p -^qY— p' + - /r'-' 9 H p-^ p'~-q- +....

Le premier terme exprime la probabilité pour que le joueur A gagne les s parties, le second terme exprime la probabilité pour qu'il gagne s — i parties, le joueur B gagnant une partie, etc. Pour que le joueur A gagne finalement, il faut qu'il ait gagné au moins w parties, la probabilité de sa réussite est donc la somme des 5 — m -+- 1 premiers termes du développement; on a donc

P =1 /)* -h .jy)"-' q H p'-- q--

m'. (Il — I ) ■

et de même

Q =q'+sq'-'p -1--^ -q'--p^-h.. . H ;- — '■

On peut énoncer le problème qui précède sous une forme qui parait plus générale :

CALCUL DES PUOBAIilLITÉS. 4l

La probabilité d'un événement étant p et celle de l'événement contraire étant q = i—p, quelle est la probabilité pour que le premier événement se produise m fois avant que le second se produise n fois?

Cette probabilité a été désignée par P.

6U. Lorsqu'il y a plusieurs joueurs, les problèmes analogues à ceux que nous venons d'étudier se traitent par les mêmes méthodes.

Considérons le cas de trois joueurs A, B, C ayant à chaque partie les probabilités/?, q, rpour gagner. (On suppose qu'il y a, à chacjue partie, un gagnant et un seul, de sorte que /j + ^ + / = i.) Le jeu prend fin quand le joueur A a gagné //? parties, ou quand le joueur B a gagné n parties, ou quand le joueur C a gagné /• parties.

Quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à la a'*""' partie par le gain du joueur A ?

(a doit évidemment être compris entre m et m -t- /< -i- X- — 2 . )

Le joueur A doit gagner la dernière partie, il doit de plus avoir gagne /n — I parties parmi les p- — i qui ont été jouées avant la dernière.

Supposons que, parmi ces u. — i parties, le joueur B en ait gagné v ; alors le joueur C en aura gagné u. — v — /«.

La probabilité pour que, en a — i parties, le joueur A ail gagné m — I parties et le joueur B, v parties est (n"48)

' .^/M — 1 «V ^tJL— V — /H

{III — 1 ) . V ! I l'jL — V — m) .

La probabilité pour que iejoueur A gagne finalement en u. parties, le joueur B avant gagné v parties, s'obtiendra en multipliant cette expression par jo, puisque Iejoueur A gagne la u.'*'"'" partie. Celte probabilité est donc

p'"-^ (j'' rV--''-

La probabilité demandée est la somme de toutes les quantités analogues pour toutes les valeurs possibles de v.

Par hypothèse, le joueur A gagne finalement, donc le nombre des parties gagnées par B est inférieur à n et le nombre des parties gagnées B. — J. 6

^2 !.. I!A( III l.ll 11.

par C l'sl iiilViinir ii /, on doit donc avoir

fi — V — «f < /i .

La sommation donl il csl question doit donc s'étendre à toutes les valeurs de v (|ui véritieiil ces inégalités.

La discussion des dilléreiits cas qui peuvent se présenter suivant les valeurs de u., m, n, k n'oiïre aucune diflicullé, il est inutile de nous y arrêter.

Lorsque l'on connaît la prohaitilité de réussite d'un joueur pour les dillerentes parties, la somme de ces probabilités est la probabilité totale de réussite du joueur.

Cette probabilité totale peut aussi se déterminer par un laisonneinent analogue à celui du n" 59.

(i l . .4 chaque partie, il y a probabilité p pour (pic le joueur A gagne, probabilité q pour que le joueur B gagne et probabilité r = i — p — (J pour que ces joueurs fassent partie nulle et soient considérés comme n'ayant gagné ni l'un ni l'autre. Le jeu prend fin quand le joueur A a gagné m parties on quand le joueur B en a gagné n.

Quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à la a" "'" partie par le gain du joueur A ?

Cherchons d'abord la probabilité pour que le jeu se termine à la a'*"" partie par le gaintinal du joueur A, le joueur B ayant gagné a; parties.

Le joueur A, [)ar hypothèse, gagne la [t.'""' partie, la probabilité de cette éventualité est p.

Relativement aux u. — i premières parties : il y a m — i parties gagnées par le joueur A, a- parties gagnées par le joueur B et a — m — a; parties nulles. La probabilité de cette éventualité est (n° 48)

{m — I ) 1 .r 1 ( fx — m — x)\

La probabilité pour que le jeu se termine à la [x'*'"" partie par le gain final du joueur A, le joueur B ayant gagné x parties, s'obtient en multipliant cette expression par/? puisque à la u.'*""' partie le joueur A

gagne; cette probabilité est donc

\ ) . .t: . ( [x — ni — .^■ ) ! ' '

La probabilité demandée s'obtiendra en sommant les expressions analogues pour les valeurs convenables de .r, c'est-à-dire de zéro à /( — I si n — I est inférieur à a — m et de zéro à \x — m si celte quantité est inférieure à « — i .

Si aucune limite n'est assignée pour la durée du jeu, la probabilité totale de réussite du joueur A s'obtient en additionnant les probabilités relatives aux diverses valeurs de a, depuis m jusqu'à l'infini.

Ce dernier problème peut encore s'énoncer sous la forme suivante qui parait plus générale : A cliaque épreuve, il y a probabilité p pour qu'un premier événement se produise, probabilité ^r pour qu'un second événement se produise et probabilité r = i ~p~q pour que ces événements ne se produisent ni l'un ni l'autre; quelle est la probabilité pour que le premier événement se réalise m fois avant que le second se réalise n fois?

62. Les joueurs A et ^jouent alternativement ; A Joue la première, la troisième, la cinquième, ...partie. B Joue la deuœième, la quatrième. ... partie. A. quand il Joue, a probabilité p pour gagner la partie et probabilité q pour la perdre. B a probabilité p' pour gagner et q pour perdre. Le Jeu prend fin quand A. a gagné m parties ou quand B en a gagné n. Quelle est la probabilité pour que le Jeu se termine à la (2 a -|- xy<""'« partie par le gain du Joueur A?

La ([uestion nous impose trois conditions :

1° Le joueur A doit gagner la (2 u. -+- i)'*°" partie, la probabilité de cet événement est/j.

2° Le joueur A doit gagner m — 1 parties parmi les a premières qu'il a jouées. La probabilité de cette éventualité est ( n° 42)

(/Il — I)! (fjL — m -h I)! ^

3° Le joueur B ne doit pas gagner plus de « — i parties [parmi les

I t !.. BAr.HF.I.11.1!.

\x parties qu'il iluil jdiicr. La |ini|ialiilit(' do celte éventualité est (^ir"'i;})

elle se réduit à l'unité (|uand « — i est supérieur à u..

La probabilité demandée est, d'après le principe des prohahilités coin|)Osées. égale au produit des trois |)rol)al>ilités |)récédent('s.

Si aucune limite n'est assignée pour la durée du jeu, la probabilité totale de réussite du joueur A est égaie à la somme des probabilités (|ue nous venons de calculer pour m = w — i , u. = «?, u. = w + i , ...,

Ln problème intéressant consisterait à calculer les probabilités en supposant que les joueurs jouent alternativement, mais (|ue cliacun d'eux joue plusieurs parties de suite jusqu'à ce (|u'il perde. Le jeu dont il s'agit serait, en edet, jusqu'à un certain point, assimilable au jeu de billard. Ce dernier jeu considéré (sous bien des réserves) comme un jeu de hasard serait caractérisé par ce fait que le même joueur continue à jouer jusqu'à ce qu'il manque un coup.

Le problème dont il est question semble, quelle que soit la méthode employée, devoir conduire à des calculs impraticables.

11 est facile de résoudre le problème des parfis dans le cas où le jeu est à parties liées : Les joueurs A et B jouant comme précédemment (n" ")7 ), le premier (jui a gagné, par exemple, cinq parties marque un point. Si le joueur A a, par exemple, gagné deux parties et le joueur B, trois parties, quelle est la probabilité pour que le premier marque m points avant que le second en marque ni

Nous ne croyons pas utile d'exposer la solution de ce problème, elle ne présente pas de difliculté.

63. Loteries. — Dans une urne, il y a n boules numérotées de un à n; on en tire a, quelle est la probabilité pour que parmi elles il y ait k boules désignées d'avance.

Le nombre total des cas possibles est celui des combinaisons de n objets u. à u, soit iZ^.

Le nombre des cas favorables est celui des combinaisons où entrent les éboules désignées et u. — k boules parmi les n — k qui ne sont pas désignées; ce nombre est donc C^^.,.

La probabilité cherchée a pour valeur

L'expression de la probabilité peut encore s'écrire

IJ. Ij. — I fjt — 1 [j. — X -(- I Il n — I « — 2 n — A H- I

L'application du principe des probabilités composées conduirait h cette dernière formule.

64. En divisant les expressions précédentes par i.2.3... k = k\ on aura la probabilité pour que les <?: numéros sortent dans un ordre donné entre eux, car on ne considérera alors qu'une seule des permutations des k numéros donnés au lieu de les considérer toutes.

65. On peut aussi chercher la probabilité pour que chacun des k numéros sorte à un rang qui lui sera indiqué.

Le nombre des cas possibles est celui des arrangements de n objets

Ap.= n(n — i). ..(n — ^-i- i).

Le nombre des cas favorables est celui des arrangements où chacun des k numéros désignés est à son rang, les u. — k autres numéros de l'arrangement étant formés d'une façon quelconque par les n — k numéros non désignés.

Le nombre des cas favorables est donc

Au.< ^ {n — /{)(/! — k — l). ..(/;— fx -H i),

et, par suite, la probabilité a pour valeur

.{(• I.. r.vciii.i.ii.ii.

()6. Par exemple, la probabilité pour que les /■ numéros indiqués soient les /■ premiers du tira^'e est

on aurait obtenu éj^alemenl eette expression en obscrvaiil que le problème actuel revient à supposer que ijl = X- dans le premier problème que nous avons traité.

67. Parmi /es ri numéros d' une loterie il y (i a f^agnanls. On possède h billets; quelle est la probabilité de gagner k lots'.'

Le nombre des cas possibles est celui des combinaisons de // objets ijL à UL, soit Cji

Une combinaison favorable se compose de ^billets faisant partie de h billets que nous possédons et de a — k autres billets parmi les /« — k billets que nous ne possédons pas, le nombre des combinaisons favorables est donc C C|j^ ;; et la probabilité a pour valeur

(.1, Cu.< /, n-li

La probabilité pour gagner au moins k lots est la somme des probabilités pour gagnera- lots, A- + i lots, etc. On l'obtient donc en additionnant les valeurs fournies par la formule précédente et relatives Si k, k -{- \, etc.

68. Pour nous placer dans les conditions ordinaires des loteries, supposons que les lots soient de o, francs, a.^ francs, ..., Oj^ francs respectivement, et supposons qu'un joueur A achète pour i franc un des billets de la loterie, c'est-à-dire un des n numéros.

Le joueur A a probabilité - de gagner le premier lot a, et son béné-

CALCUL DKS PROBABILITÉS. 4?

fice est alors {a, — i) francs. Il y a de même probabilité - de gagner («2 — i) francs, ...; son espérance positive est donc

(<7,-f- rtoH-. . . + flji-- jJ.)

La probabilité pour que le joueur ne gagne aucun lot est la probabilité pour qu'il ne gagne ni au premier tirage, ni au second, ...; c'est donc la quantité

/( — 1 /; — 2 n — i II — jj. n — p.

Il n — I « — 2

Le joueur perdant alors i franc, cette même quantité exprime son espérance négative; son espérance totale est donc

C= — («1 + «, + ■ • --T- «ti— fJ^)

On obtient ce même résultat un peu plus simplement en considérant le jeu de A comme composé de deux opérations : Le joueur A verse d'abord i franc et à cette première opération correspond l'espérance mathématique — i. Il acquiert de ce fait la possibilité de gagner au tirage et l'espérance mathématique de cette seconde

opération est - (a, + a.^ -i-...-i- a^), l'espérance totale est donc

6 = — ( a, H- rt-, -H . . . + «u )

Si le joueur achète h billets, son espérance totale est hi:.

69. Problèmes relatifs aux tirages dans une urne. — Une urne contient m boules hlanclips et n boules noires ; quelle est la probabilité pour que, sur u. boules extraites de l'urne, il y ait k boules blanches.

(On suppose que les boules extraites ne sont pas remplacées dans l'urne.)

Cherchons d'abord la probabilité pour que les a boules extraites dont k doivent être blanches et jj. — X- noires se succèdent dans un ordre déterminé, les k boules blanches sortant, par exemple, aux k premiers tirages.

48 I.. iivciiii. ii.it.

D'après le priiu'i|M' dr la |)r(ilial)ili(c coniposéo, la probaliililc clicichée est

n tn -i- fi — I m -h n — «■ -f i |

/( /( — I II — jm -+- /■ 4-

L m -i- Il — /. /" -T- « — A — I III -j- Il — [X

Eu cH'cl, la probabilité pour qu'une boule blanche sorte au premier

tirage est > la probabililé pour qu'une boule blanche sorte au

o m -h II '^ ' '

second tirage, quaiul une boule blanche est sortie au premier,

in — i est > etc.

La probabilité ci-dessus peut s'écrire

III \ Il \ ( m -i- Il — fjt ) 1

elle est, comme on le voit, indépendante de l'ordre considéré. La probabilité pour que k boules blanches et [x — k boules noires se succèdent dans un ordre déterminé est donc exprimée par cette formule.

La probabilité pour que /• boules blanches soient extraites en u tirages est, en vertu du principe de la probabilité totale, la somme d'autant lie termes égaux à l'expression précédente qu'il y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de X* lettres A et de a — k lettres B; ce nombre est

La probabilité demandée est donc

jj.] m] ni {m -h II — p. ) 1

/,-! (fi — A-)! (m — k)\ {n - ;jH- A)! (/« + /()!

70. Si l'on extrait u. boules de l'urne, quel est le nombre A' de boules blanches auquel correspond la plus grande probabilité?

Il suffit, pour le déterminer, d'écrire que l'expression précédente est plus grande qu'elle ne le serait si l'on y remplaçait k \>iir k -h i ou par ^- — I ; on obtient finalement

p.in -h jj. -h m -r- I , [l-lll ~^ P- — " — '

Le nombre entier k, compris entre deux quantités qui diU'èrentd'une unilé, est ainsi déterminé.

Si m, n et u. sont de grands nombres, on a approximativement

71. Un problème analogue à celui que nous venons de traiter est relatif au cas où ix boules sont extraites successivement, chaque boule étant remise dans l'urne après chaque tirage. La recherche de la probabilité pour extraire X- boules blanches constitue un cas particulier du problème des épreuves répétées qui a déjà été étudié.

Les deux problèmes se confondent si m et n sont très grands par rapport à u.. Ainsi la plus grande probabilité dans le cas des épreuves répétées a lieu pour

72. Si l'on fait a tirages, le nombre des boules blanches qui sortent

est, en moyenne,

fxm

si la boule extraite est remise dans l'urne après chaque tirage (n" 45). Si les boules extraites ne sont pas remises dans l'urne, le nombre moyen des boules blanches qui sortent en [i. tirages est toujours

Ce nombre est, en effet, d'après la définition des valeurs moyennes,

■^ k.jj-l ml n\ (m -i- n — fx ) !

.ii-( A ! ( ^ — A- ) 1 ( //i — /.- ) ! ( « — (J^ -h /- ) ! ( '« -H « ) !

et l'on peut l'écrire

/j.m -^ (fjL — i)!(/" — i)! /i! (/« -H « — f;.)!

m -h II ■^ (A — I)! (|ji. — A)! (w — A-)l (/( — p.-+- A)l (/H 4- /i — 1)1

Le S représente la somme des probabilités pour qu'on tire o, i, 2, 3, ..., (p-— i) boules blanches en [t. — i tirages d'une urne (jui contient B. - I. 7

m — I hoiilos blanches et n boules noiros, somme do probabilités qui

ovidoinnii'ut a [inur valeur un. I)(uic la valeur moyenne du uouihre dos

boules blaucbos extraites est

~'.\. Ou peut arriver au uiëuio résultat par nue autre niotliodo : Soil/Zj; la valeur luoyeuue du nombre des boules blanches qui sortent en x tirages, ou a

yy désignant la probabilité pour que, au (a; -i- i )'''""■ tirage il sorte une boule blaïu'hc. Ku ell'et : ou à ce tirage il sort une boule blanche, et la valeur moyenne devient »,, + i ; ou il sort une boule noire, et la valeur moyenne conserve la valeur iir-

Nous allons calculer la valeur de/^. En x tirages, u^^ boules blanches et a; — Mj; boules noires ont été extraites, il reste donc dans l'urne m -^ n — X boules dont m — a^ blanches et la probabilité de tirer une boule blanche au (.r -\- ly"'"- tirage est

lit — Kj.

Substituant cette valeur dans l'équation ci-dessus, elle devient (/H -(- H — j;) Ux-t-i ^ (m -h n — X — i) ii^-i- "' ;

on en déduit successivement

m -+- Il

74. l'nr. urne conlie/U m boules blanches , n boules noires el u boules rouges; quelle est la probabilité pour que^ sur ix boules extraites de l'urne il y ait k houles blanches et h boules noires?

(On suppose que les boules extraites ne sont pas replacées dans l'urne.)

Cherchons d'abord la probabilité pour que les ix boules extraites, dont /t doivent être blanches, h noires et [x — A — ^ rouges, se succèdent dans un ordre déterminé, les k boules blanches sortant par

CALCUL DES PROBABILITÉS. 5l

exemple aux k premiers tirages, les h boules noires aux // tirages suivants et les boules rouges ensuite.

D'après le princi|)e de la probabilité composée, la probabilité cherchée est

ni -i- n -h u

ni -t- rt + H

cette probabilité peut s'écrire

ni\ n\ II] ( m -h n -h u — fz ) !

{m — ■ A ) ! (/! — /()! {il — [ p. — A — /( ] ) ! ( //( -+- n -h u)\

elle est indépendante de l'ordre considéré. La probabilité pourque les k boules blanches, les h boules noires et les u. — X- — h boules rou?es se succèdent dans un ordre déterminé est donc exprimée par cette formule.

La probabilité pour que les k boules blanches et k boules noires soient extraites en a tirages est, en vertu du principe de la probabilité totale, la somme d'autant de termes égaux à l'expression précédente qu'il V a d'unités dans le nombre des permutations avec répétion de k lettres A, h lettres B et u — k — h lettres C; ce nombre est

La probabilité demandée est donc

ni\ n\ u\ {m -f- /i -(- « — (i.) !

{m — A)! (H — /()! {U — [ij.~k — li])\ i m ^ n ^ u )\ l,\ lt\ (,a — A — A)!

75. Si l'urne contenait m boules blanches, n boules noires, u boules rouges, (^boules vertes, .... la probabilité pourque, en a tirages, il sorte Â- boules blanches, // boules noires, /boules rouges, Xboules vertes,... serait

m\ ni u\ (• !

( «; -1- « -h (/ -H f H- . . . — fji ) ! [jA

52 !.. [lAcur.i.iF.n.

76. Si mit' iiiiif iiHiiiciil .V lioulcs don( t)i lilaiiches, la valeur moyeiino (les IkhiIcs lihimlics (in'oii oxtrail en [j. lirages est — > car le raisomicmciit cmployo |)r('C('tlt'iiiiiiriit j)our détenniner cette valeur moyenne ( n" T.'H ne sn|)|t(isi' en aiiciinc (acon que les s — ni autres boules soient d'une même eouleiir.

77. l'ne urne .\. contient m houles lilanches et n boules noires, ou eu tire a au hasard et on les plai'e sans regarder leur couleur' dans une secontle urue IJ. La prohabilité d'extraire une houle blanche de

l'urne B est évidemment — .comme si la boule était directement

extraite de l'urne A. La prohahilité d'extraire une boule blanche des m -\- n — ix houles (lui restent dans l'uruc A est aussi

L'urne A, contient /n, boules blanches et «, boules noires, l'urne Aj contient m., boules blanches et n, boules noires, . . . l'urne A, renferme nij houles blanches et n, houles noires. On tire an hasard a, boules de l'urne A, , u.^ boules de l'urue Ao,... ij., houles de l'urne A, et on place ces boules sans regarder leur couleur dans une même urne K. On extrait une boule de celte dernière urne, (|uelle est la prohahilité pour qu'elle soit blanche?

Il V a probabilité — pour que la boule que l'on va

extraire provienne de l'urne A, et, dans ce cas, la proliahilifé pour (|ue

la boule soit blanche est

Il v a de même probabilité ~ pour que la houle que

l'on va extraire provienne de l'urne Aj et, dans ce cas, la probabilité

pour que la boule soit blanche est

La probabilité cherchée est donc, en vertu des principes des probabilités composées et totales,

[i-i + [>-, + .. . + \i-i mt-h fil

IJ; + tii-h. . .-h IJ-t ni^-^ n^ fx, -t- fX2 H- . . . -H fji, //;, -h «,■

78. Une urne contient m boules blanches et n boules noires ; on les lire

une à une jusqu'à ce que toutes les boules d'une même couleur quelconque soient sorties. Quelle est la probabilité pour que les boules qui restent dans l'urne soient noires?

Le nombre des cas possibles est celui de la permutation de m -+- n boules, dont m sont blanches et n sont noires. Considérons la boule de rang x dans toutes ces permutations; le nombre des permutations où la boule de rang x est noire est au nombre des permutations où la boule de rang a; est blanche comme « esta /w; en particulier, le nombre des permutations telles que la dernière boule soit noire est au nombre des permutations telles que la dernière boule soit blanche comme n est à m.

La probabilité p pour que la dernière boule soit noire est à la probabilité I — p pour que la dernière boule soit blanche comme n est à m. On a donc

d'où

La probabilité i — p pour que la dernière boule soit blanche est de même

79. Le même raisonnement montre que, s'il y a dans l'urne m boules blanches, n boules noires et t boules rouges, la probabilité pour que la dernière boule soit noire est

et, plus généralement, ce raisonnement s'appliquerait quel que soit le nombre des couleurs.

On peut encore dire, ce qui revient au même : le nombre des cas possibles est celui des permutations de m-^n + t boules, dont m blanches, n noires et / rouges, c'est-à-dire

in\,i\ t\ '

54 I- liAiiii i.ii'ii .

faisons abstraction de la diTiiiéri' lioiilf (|iii iluil ('trc noiic, le noMilirc (les cas possibles est celui des permutations de m + n -^ t — i boules, diuil m lilanelies. /( — i noires et / rouges, c'est-à-dire

(m -\- n -\- t — \)\ in\(n — i)\l\

La probabilité pmir (|ue la dernière boule soit noire est donc

La théorie des équations aux dill'érences finies conduirait au même résultat, mais non sans querque difficulté.

80. Une ui'ne contient m houles blanches et n hmiles noires; en les extrayant une à une, quelle est la râleur moyenne du nombre des tirages qui seront nécessaires pour que toutes les boules d'une même couleur quelconque soient sorties ?

Si l'on désigne par»,., cette valeur moyenne, quand il y a encore dans l'urne x boules blanches et y boules noires, on a

' X — ! . y "1" "JT. >■— I '

en clïet, la valeur moyenne comprendra le prochain tirage, puis deux cas pourront se produire : on la boule qui sortira sera blanche et la valeur cherchée deviendra Mj,.,, ou elle sera noire et la valeur moyenne deviendra «:r.v-i-

La première éventualité ayant pour probabilité — ^ — et la seconde

— - — ) l'équation n'est qu'une conséquence des principes des probabi-

lités composées et totales.

La fonction Uj.^ doit aussi satisfaire aux conditions i/„^. = 0, «x.o = o.

En prenant pour inconnue la fonction Zj.,, définie par la relation

Zx,j = J7-f/,

CALCUL DES PROBABILITKS. 55

l'équation prend la forme plus simple,

(x-l-7)Z^.,.= ^Zx-i,,--(-.rZ^.^, ;

les conditions aux limites sont alors

si l'on pose \' = i dans l'équation, elle devient En donnant à x les valeurs successives i , 2, . . . cr, on obtient

{x ^ I )Zx,, = -i-Zx-,,! + ar,

et, en additionnant toutes ces égalités,

(x -f- i)Zx.i = 1 + (1 + x)— )

d'où

Posant maintenant v = 2 dans l'équation générale, elle devient

(X-h 2)Zx,2=xZx-i.o+2Zx,,

ou, en remplaçant Z^., par sa valenr

(x -^ 1) {x -i- 2 )Z,-,2= X(x -h l)Zx-i,2-t- A-- -h X + 2.

posant ensnite successivement r = i, ar = 2, ..., x = ;r, on obtient