On a d'abord
/ • • / F du, ...du„^i — i
— oo«-^ — oo «-—oc
égalité qui supprime les deux premiers termes de la dernière équation. Le second terme du second membre de la dernière équation se réduit à
-^da.
La continuité supposée de la variable ij. permet de prendre Aix aussi petit qu'on veut, de sorte que les valeurs moyennes des quantités telles que u'^ii., qui multiplient les dérivées du troisième ordre soient infiniment petites.
Nous ne supposerons pas que le jeu est uniforme, mais nous supposerons qu'il est équitable; alors les intégrales qui multiplient les
dérivées premières -p-> -p-- • ■ • sont nulles et l'équation se réduit à
2 dx]
2 Oxi
. dv
2 dx;,,
dV
àx, dx^
••/ u\ Y du,.
• • du„,
ri:
■■ f ul F du,.
. .dUn^,-h. .
■■f ul,Fdu,.
■ • du„^.
• • / ('i '/, V du, .
. . du„^, + . .
■ j u„-2U„^,F du, .
. . du„.
diJ.
560. Cas où il y a symétrie. — Lorsqu'il y a symétrie, c'est-à-dire lorsque les coiuiitions du jeu «ont les mêmes pour tous les joueurs, l'équation se réduit à
[ dx,dx, ■■■ dx„^,dx„^,\ J^ J ^ J ^ "'"^ (u,... n-i— ,^^
38 'l !.. liAr.IIKI.IKU.
l.;i i|iiantilt''
/ 1 ■ • I ii'-V dit^ . . .du„t
est la valeur moyenne îles carrés des pertes li'iiii des joneurs relativement à l'inltM-valle u. - dit., u..
Nous tlesii,'nerons par o'(i).)(/\>. le double de cetlc valeur moyenne et nous appellerons o\\j.)d[t. la l'onction d'instabilité relative à Tintervalle a — t/ij., a.
p'(u.)f/u. est une fonction donnée (nécessairement positive) qui définit le jeu dans l'inlervalle u. dix., a ou si l'on veut à la ij."""' partie.
Considérons maintenant l'intégrale
/ • • • / ii,iijVdii, . . . du,,.
elle exprime la valeur moyenne du produit u,uj relativement à l'intervalle a — da, a. Il est facile de l'exprimer à l'aide de la fonction d'instabilité : La somme des pertes de tous les joueurs est nécessairement nulle; on a donc
d'où
(.r, -^ Xj -+-... 4- x„, + x„y- = o,
c'est-à-dire, en désignant par \Mx la val(>ur moyenne de ce,
\Mx] -h VMxl +...+ VM^Î -t- 2 VMxjXa +■ 2 V'M.r,.r3 4- ...-)- 2 \'Mx„, x„ = o.
Par suite de la symétrie, tous les termes de la première ligne en nombre n sont égaux entre eux.
Pour la même raison, les termes de la seconde ligne sont
égaux entre eux, de sorte que l'égalité précédente se réduit à
n VM jcj -\- n{n — i ) VMa:,- .Xj = o,
d'où
c.ALCUl. l)i:s Pi;oi;\uii-iiLS.
On a donc
-,-i- ao ^H-
.■>()!. La prohabiliti- doit donc satisfairi' à l'équation aux dérivées )artielles
âx; dd'l
d.Ci â.f, Oj^i dxs
Ox„-, d.i-„,
9'(fi) df/.
On vérifie sans dilTicullé que l'équalion aux dérivées partielles est satisfaite identiquement si l'on pose
-f/./-, . . . dx„^,.
Telle est l' expression de la prohahilité.
;p([ji.) est la fonction dont la dérivée est ':/'{[>■); e'est la fonction d'instabilité relative à l'inlervalle zéro, [j..
562. Cas général. — Supposons maintenant ([ne le jeu soil équitable, mais non symétrique; l'intégrale
du,,
exprime la valeur moyenne du earré de la [lerte du joueur A, dans l'intervalle a — du., a; c'est la moitié de la IVimtion d'inslabililé relative à ce joueur.
Si l'on désigne par o,- (a) cette fonction d'instabilité (,(iui coustilue l'une des données du problème) pour l'intervalle zéro, \)., l'intégrale précédente est la moitié de la dill'érentiello (^]\'J-) du..
Pour alléger les formules, nous écrirons souvent ?,, 92' • • ■ !'" ''"^u de 9, (a), 90 (l/.\ .... Les quantités ç»,, 0.,, ... dans ce qui suivra no seront pas de simples coefficients comme dans les cas considérés au Chapitre précédent; ce seront des fonctions données de a.
38() I.. IIACIIKMKU.
