I. iiiU'jj;r;ilo
/ I ■ ■■ I II, Il jV (lu, . . . llll„
oxiiriim- la valtnii' movoiino du produit UjUj des perles des joueurs A,,
A^ dans l'iiilervalle a - du., [x et coiislilue une donnée du pinhlèinc.
Les valeurs moyennes dos produits tels que a*, .»■,. jouisseni de la
[)ropriôté d'addition comme VMa;' ou -9, (a), de sorte (jn'il siil'lll
(r:iddiliiniiicr les valeurs moyennes relatives aux diverses parties con- . sidérées isolément pour obtenir la valeur moyenne de leur ensemble.
En particulier, si le jeu est iinirorme, la valeur moyenne de a^, x., pour a parties est égale au produit par (7. de la valeur moyenne de a;, a^o pour une partie.
On peut supposer' (|n(' les joueurs A;,, A„ . . ., A„, lnul en coiilinuanl à jouer séparément, associent leurs gains et leurs perles; cela ne change rien aux jeux de A, et A.,, mais on peut alors considérer le jeu comme composé de trois joueurs : les joueurs A,, A^ et l'association des autres.
Soit 4j (y.) la fonction d'instabilité, qui correspond à l'association; le jeu étant réduit à trois joueurs, la valeur movenne de .r,.rj s'exprime l'acilemenl par les fonctions d'inslaliilité.
Désignons par z la perte de l'association des joueurs A, . . . A,;; on a évidemment
a?, + a"2+ ; =^ o, d'où
et
VM3'-= VMj;;+ VM^lH- 2VMjr,X2,
par conséquent
La valeui' moyenne de x^ x.^, somme de trois fonctions d'instabilité, possède donc comme celles-ci la propriété d'addition et par suite peut se déduire immédiatement des données.
Supposons (jue le jeu soit continu et que la valeur movenne de.?-, x., soit une foiiclion donnée 7'/,.:.. {[J) de la variable u.; la valeur moyenne
CALCUL DKS IMîOnABILlTÉS. ^87
de M,//., dans l'inturvallc u. — du., aest alors la différentielle -y', ., (u.)r/a, et l'on a
-y.\.AH)^F-= I I ■••/ iiitu Filut . . .'lii„,.
Si. dansl'équalion finale du n° ôôU, on remplace les valeurs moyennes par leurs expressions, on obtient l'équation au.r dérûées partielles de la probabilité.
- O. ^ -I- T s., -e^ -t-...-r-vO, - -^
4 ■ ' (Jxî 4 ' - dxl "^ ■ • • ^ 4 • "-' (^.r,^
2 /•'•- (J,r, dr, ' 2 ''-''' dr, (^^-3 "^ ' " " "^ 2 ^■"-'•" ' dJC„-, rfj,,-, ~ â^J. '
563. Cette équation convient encore pour le cas où le jeu n'est pas équitable, à la condition de modifier le sens attribué aux lettres r.ç;,-/.
Lorsque le jeu n'est pas é(juitable, r,- ne désigne plus la perte du joueur A,, mais celte perte augmentée de l'espérance mathématique (L,- (jji.) de ce joueur.
La quantité o, (a) est la fonction d'instabilité relative au joueur A,-; c'est, dans le cas du jeu non équitable, le double de la valeur moyenne des carrés des gains et des pertes diminué du double du carré de la valeur inovenne des gains, c'est-à-dire diminué de la quantité •j'|,-((x).
Lorsque le jeu n'est pas équitable, y ,2 ((J^)"'-" désigne plus le double de la valeur moyenne du produit des pertes des joueurs A, et Ao mais le double de cette valeur moyenne diminué du double produit des espérances •\/,(ij.), '^'■.([J.) de ces joueurs. Cette quantité ■/.,,^( |J-) j'>'iit de la propriété d'addition: on le démontre sans difficulté en supposant comme précédemment que tous les joueurs, sauf deux, associent leurs gains et leurs pertes.
Les quantités x, o, y étant ainsi dflinit's, il suffit de considérer le cas du jeu é(juilable; l'équation ci-dessus convient dans tous les cas où il y a indépendance, et, pouremployerles mêmes termesque dans la théorie du rayonnement, on peut dire qu'elle e^lVé/ualion générale du mouvement de ta probabilité.
.>64. La probabilité pour que, en a parties, le joueur A, ait perdu
388 1.. iiA('iiri.ii".n.
la sommer,, le joueur A., la soiiiiiio iv, le jdueiir A„ ,, In soninic
■i'„., est (IniiMi'c |i;ir ri'xpri'ssioii
— ■ — — rt.r, . . . (■/,>•„,.
Telle est lu formule fondamentale des probalnlités à plusieurs rariuhles. \a\ jcllrc A (lé>i''no le (lélcriiiiniiiit
P Xî.n-l
Dans les ([iiaiilitos •/ on peut perniuku' les indices; nous avons éciil par exemple, pour conserver la symétrie /o,, au lieu de ■/^,.,. La somme - uj^xl désigne la quantité
«l 'A H- «2'2'2 + • ■ • H- ««-1 xl-i ■
La quantité f//, s'ohlicnl en sup|)rimanl, dans le déterminant A, la ^.iémc i[^,„(. ,,, !;,/:"""• folonne.
La somme - l>h,i -l'h -^'i désigne la (|uantité
La quantité /v,,/ s'obtient en supprimant, dans le déterminant A, la /,ièinc ijg,,,. ,., |.| /i.-.Kc colonne.
.")().). Snp|)osons, [lar exemple, ([n'il y ait quatre joueurs ; la probabilité pour (jue, en a parties, le joueur A, ait perdu la somme x,, le joueur .\, la somme r.^ et le jinicnr A, la soniinc .r,, est, d'après la
CAi.cii. DF.s pr,()i;Ai;n.iTi:s. ;^8q
t'ormule précédente,
(?. ?3-Xi,3)^.+(?»?i-v:î,3)'i+(?-?i-xi,0-''+^(x»,»Xi,»-?»yi,i) ■'•■■' =+Mx-,iy,=.3-?r/i.j)'i'.+-^(Xi,»/:-,;-?./^i)j^^
dx, dx, dx-,
T. \lli \/0, 5293— ?l7j.3— ?2ZÎ,3 — ?37.F,-2 -+- 27.-2 37.1.37.1. -2
.")()(). Lorsqu'il y a trois joueurs, A,, A^, A3, la probabilité pour (|ue le joueur A, perde la somme j7, et le joueur A, la somme x., est exprimée par la formule
dx, dx.
T.\'oiO^—y'-
Cette formule est identique à celle du n" '^'\\ qui renferme, au lieu de la fonction /, la fonclion d'instabilité O3 relative au jeu de A,. On a, en effet,
X,+ .To -<-.r3= O
ou
En élevant au carré les deux membres de cette égalité, on obtient
x\ + x\-\- ■îx^ Xi = xl .
et, en désignant par \"SÏ la valeur moyenne,
VM rj -h \Mxl + 2 VM:r,.r,= VMx=,
c est-à-dire
ou enfin
Si l'on remplace / par cette valeur dans la formule précédente, on retrouve celle du n" 344.
5()7. Il nous reste à prouver que la formule générale de la probabi-
!^()0 I . MACIII I ir.K
lili' vi'i'ilic r(''(|ii;ilinii aux dcriviH's partielles
iv-yi^ , Iv,. à\f df
) i:.<i,i?-i-2i:/').,ij-j,.>7
où
r(''(]uafion à vrrilicr devient
— -A[rt,tp', + aj9;4-... + a„,9'„,-t-27;,.,/y,,2+2/;,,i,,34-...+ 2-/;,^,.„__,6..,2,„,]
1 , WA , r;). . fJA
2 «jm rf^a «y.
Los deux premiers crochets du premier memlire et les deux derniers trimes lin >eeond nieml)re conlieniieni des expressions en .r'^, ....
Au contraire, le dernier eroclKi du premier membre et le premi(>r terme du second dépendent exclusivement de a.
Pour démontrer la formule, il faut :
1° Prouver f]ue les termes indépendants des a- sont égaux dans les deux membres;
2° Prouver que les coefficients d'un terme quelconque on x, par exemple du terme en .t^, sont identiques dans les deux membres.
