r -t- y lin

A cette même épreuve il y a probabilité

m — r m H- X ini 1 ni

pour quey augmente de un, et [)robabilité

pour que j diminue de un; l'espérance mathématique du joueur K

est donc

La l'iinclion d'instabilité relative au joueur H est, pour l'épreuve

considérée,

2 ni- — 2 .r' — 2 xy — r^

Nous supposons que m est un grand nombre ol que pi est également un grand nombre du même ordre. S'il n'existait aucune cause retardatrice des écarts, ceux-ci seraient de l'cjrdre de vu. (n" 525) et par

CALCl'L DES PUOBABILITES. 379

suite ils seraient négligeables comparativement à a ou à m, et à plus forte raison, leurs carrés ou produits seraient négligeables conipurativement à \i.- ou m-.

Puisque, dans le cas actuel, il existe une cause retardalrico des écarts, on peut à plus forte raison négliger .3?^, xy dy- comparativement à ni-.

La fonction d'instabilité ç, relative au joueur H se réduit donc à un. Il en est de même des fonctions d'instabilité z.^, 93, relatives aux joueurs K et L.

Le problème actuel rentre dans le cas traité au n° 555, car les trois fonctions d'instabilité sont égales et constantes et les espérances mathématiques suivent la loi exigée. La probabilité pour que le joueur H perde la somme x et le joueur K la somme y, c'est-à-dire la probabilité pour que les écarts soient x et >', est

rr.i^-e"''")

CUAIMTRE XYIÏI.

PUdBABILlTKS CONTINUES A PLUSIEURS VARIABLES.

5Ô7. Les joueurs A,, A., . . . , A„ qui possèdent chacun une fortune in/inie douent jouer \j. parties; quelle est la probabUité pour que le joueur A, perde la somme a\, le joueur A. la somme x.,, ..., le joueur A„, la somme a:„, ?

Nmis supposons que les conditions du jeu pour uno partie smil indépendantes des résultats aniérieurs du jeu ; mous admettons, en d'autres ternies, l'indépendance; alors la probabilité pour que, entre les parties a, et a, le joueur A, perde la somme ce, —X,, le joueur A. la somme -r., - \,, ..., le joueur A„, lasommca;„, — X„,, ne dépend

que des quantités u.,, a, x, — X,, .r. — X. x„, ~ X„, et peut se

représenter |)ar

(i) /(fi,, fx, .r,— X,, ,r., - Xî, .. ., .r,,-,— X„i).

Si nous supposions que les conditions du jeu soient les mêmes à chaque partie; si, en d'autres termes, nous supposions le jeu uniforme, J'nc dépendrait pas séparément de [jl, et de a, mais seulement de la dilFérence a — u.,. Dans la suite de cette étude, nous ne supposerons pas l'unil'ormile.

La probabilité pourciue. en a, pallies, le joueur A, perde la somme X,, le joueur A. la somme X., . . ., le joueur A„,., la somme X„,, est

(2) /(f/o, p.,, X,, Xj, ..., X„,)

(uio est nul).

La probabilité [)uur que, en u. parties, le joueur A, ait perdu ar,, le joueur Ao, j:.,, ..., le joueur A„|, .r„ ,, est

CALCUL DES PROBAlilLlTÉS. 38 1

La probabilité pour que les joueurs A,, Aj, ..., A„, aient perdu les sommes X,, X,, ...,X„, à la tji'f""' partie et finalement les sommes a:,, X.-,, ..., x„^ à la jj.''^™'' partie s'obtient, d'après le principe des probabilités composées, en multipliant la probabilité (2) par la probabilité (i) :

/(Fu. f^i, X,, X,. .... X„,)/(fti, fA, j:-! — Xi, J-2— X,. ..., x„, - X„,).

En sommant toutes les expressions analogues pour toutes les valeurs deX,,X., ..., X„^,, on obtient, d'après le principe des probabilités totales, la probabilité

/ / •••/ /(/xo, ^,, X,. X2, . . ., X„,)

X/(P-I' f^. -^1 — ^n -^s— X,, . . ., X„i -\n-\)il'^\d\„ . . . d\„,

pour que finalement, en u. parties, le joueur A, ait perdu x,, le joueur Cette piobabilité s'exprime également par (3); on doit donc avoir

y (f^Oi F> -^l» ^î! ■■•y^ii-l)

/ •••/ /l.'^o, Pi, X„ X,, . .., X„,) x/(p.i, p., X,— X,, J-,— X,, . . ., a-„, — X„,)<^X, (l\,. . .fi?X„,.

Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la fonction/; elle doit être vérifiée quels que soient li., et u..

Lorsque l'intervalle a — a, tend vers zéro, la probabilité pour que les écarts x, — X, = u,, Xo — X^ ^ u,, . . ., x„, — X„, = u„, correspondant à cet intervalle soient compris entre des limites données, — a, , y.,, — |3,,{3^, ..., — Y,, y.j, doit tendre vers un; on doit donc avoir

liin / / •••/ fiiJ.^, ij.. Il,, u,, . . ., ii„^,)iiti,di/.,. . .du„.,^. \

quelque petites que soient les quantités positives (et fixes) a,, a^,

Ces deux éi]ua(ions de condition suffisent pour déterminer la fonction/", par suite de la continuité de la variable a.

382 I.. liAciiriirn.

ôfjS. Nous su|i|)t)serons que [j. ij., osI un iiirmimonf p(>lit Aix, do sorte ([uo [jl, - a Aa, cl nous désignerons par m,, ii^, ... «„, les ([uantilés j-, — X,. .r. — X„. . . ., x„ ., — X„, ; la première équation de eoiulition deviendra alors

= / / •••/ /(fJ^o, H- V, .(•,— (/,, .r.,— Mj, .. .,.î7„,— (/„,)

Développons la première fonction / par la formule de Taylor en néj;lijîeanl les termes qui contiennent en facteur !(> carré de Au. (pii est du second'ordre et, pour siniplitier l'écriture, remplaçons par F la quantité

l'équation devient

/■(fXo, H, ^f Xi, . . ., x„,)

— -TJ— I I •■■ I M„,Ff/(/, ...f/M„,

+ - — ^ / / ••• / ii^u.,V dii^ . . .dii„i^ .. .

OXi Ox^ J„ J^ J „

plus des termes contenant des dérivées troisièmes, par exemple

et des termes contenant des dérivées d'ordres supérieurs.