PROBABILITÉS DYNAMIQUES

603. Nous disons qu'un problème est relatif aux probabilités dynamiques lorsqu'il consiste à étudier le mouvement 'd'un point ou d'un système matériels, les forces qui sollicitent ce point ou ce système dépendant en totalité ou en partie du hasard.

Nous allons donc étudier le mouvement d'un point matériel soumis à Faction d'une force dont la grandeur est constante et dont la la direction varie constamment au hasard.

Notre analyse permettrait de supposer que la force varie en grandeur suivant une fonction donnée du temps, mais le problème ainsi généralisé serait sans doute moins intéressant parce que la plupart des résultats dépendraient de la forme particulière de la fonction donnée.

604. Les principaux problèmes que nous résoudrons sont les suivants :

Quelle est la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel occupe une position donnée.

Quelle est la probabilité pour que, à l'époque /, le point matériel soit animé d'une vitesse donnée.

Calculer la probabilité pour que, à l'époque /, le point matériel occupe une position donnée et pour qu'il soit de plus animé d'une vitesse donnée.

Calculer la probabilité pour que le point matériel ait une vitesse donnée quand il se meut dans un milieu résistant proportionnellement à la vitesse.

420 1,. r.Ac.iir.i.iKH.

Ces prdlili'iiii's [iit'sontant (|iu'l(|U(' ililliiiilic, ihuis ctiitlicrons successivement les cas ilii liiiiiiNcmciil iliiiis un espace à une, deux et trois (liinensinns.

(■)<•."). Espace à une dimension. Problème relatif aux vitesses. — Quelle est la prohalnlité pour que, à l'époque t, le point malériel ail une vitesse donnée v ?

Supposons (|u'uii joueur A perde cha(|nc inslant une somme égale k l'accroissemenl de la vitesse à cet instant ; la probabilité pour que la vitesse soit e à l'époque t est la |ii'obal>ililé pour (pie le joueur A perde la somme c en / parties.

La force élan! ronstanle en i^randi'ur produit, pendant cha(iue élément de temps, une accélération ou accroissement de vitesse a proportionnelle à celte force elle-même et inversement proportionnelle à la masse du point matéri(d.

Il )' a, par définition, i» chaque instant, égale probabilité pour que la force agisse dans un sens ou dans l'autre et par suite égale probabilité pour (|ue a soit positif ou négatif.

Dans chaque élément de temps ou, si l'on veut, à chaque partie, la vitesse peut, avec égale probabilité, augmenter ou diminuer de la quantité a et cette augmentation ou cette diminution est indépendante des faits antérieurs ; le joueur A a donc, à chaque partie, égale probabilité de perdre ou de gagner la somme a. Le problème est donc le suivant :

A chaque partie (supposée indépendante des autres), un joueur A a égale probabilité de gagner ou de perdre la somme a ; quelle est la probabilité pour qu'il perde la somme v en t parties ?

Ce problème, qui suppose à la fois l'indépendance et l'uniformité, a été précédemment résolu.

La prohalnlité pour que la vitesse soit v à l'époque t est

dv.

\fT:\fTôFt

606. L'amplitude des écarts est mesurée par la quantité \'iv.'^t ; donc

CALCUL DES PliOBAlilLlTÉS. 4^9

[.es vitesses croissent proportionnellement à ta racine carrée du temps.

C'est la loi de croissance ordinaire, conséquence nécessaire de l'uniformité.

Le problème est trop simple pour que nous nous arrêtions aux conséquences que l'on peut déduire de la formule précédente. D;ins le cas des probabilités des deuxième et troisième genres, la question présenterait déjà beaucoup plus d'intérêt; mais comme elle ne constituerait encore qu'un cas très particulier des théories générales exposées précédemment, je ne crois pas utile d'insister sur ce sujet; je citerai seulement, à titre d'exemple, le résultat suivant :

La probabilité pour (jue la vitesse maxima qui est atteinte dans l'intervalle de temps / soit ztc est exprimée par la série

\Jn \/2 a- /

/ __:1- ii^ ii^ ^I2sl \

La valeur la plus probable de la vitesse maxima est 0.(142... \ lOL-t. La valeur probable de la vitesse maxima est o,8o'J2. . . y 2^-7

et la valeur moyenne de cette vitesse maxima est — \ 2 î'-'' ou

607. Problème relatif aux positions. — Qaelle est la probabilité pour que, à l'époque/, le point matériel soit à une distance .v de son point de départ ?

L'idée qui se présente le plus naturellement à l'esprit consiste ii employer notre méthode générale et à supposer qu'un joueur K perde à chaque instant une somme égale à l'accroissement de la distance x pendant cet instant. La probabilité demandée est alors la probabilité pour que le joueur K perde la somme x en t parties.

Ce procédé ne conduit pas à la résolution de la question posée parce que le jeu de K n'admet pas l'indépendance.

D'après le principe de l'inertie, le mouvement du point M dans un élément de temps dépend de la vitesse acquise antérieurement et par conséquent le jeu de K pour une partie dépend des faits antérieurs du jeu.

/|3o L. DACllELIKU.

l'diir lounicr la dirticiillé, nous considérerons vin jcn liclil' |)onr le(]iiol, linalcnionl, à l'époque /, la probabilité d'une perte .r sera égale à la prtd>al»ililé d'un éearl de situation x du point matériel M, alors que, pendant l'intervalle de temps compris entre zéro et /, les écarts relatifs à ce jeu ne correspondront pas avec les écarts de situation (lu |iiiiiil M au même inslanl.

La coincidenee se produira seulement à l'époque /.

Nous décomposerons l'action de |la force considérée en ses actions successives pendant les intervalles de temps (zéro, (II), (fit, i(li), (•2i/t, 3i/n

Au biiiil du premier intervalle (7f, sous l'action de la force, le point -M a parcouru nue distance ar// (dans un sens ou dans l'autre, les deux sens avant même probabilité) et, en vertu de l'inertie, ce mouvement se continue jusqu'à l'époque /, faisant parcourir au point matériel la distance a/.

L'action de la force pendant ce premier intervalle a pour effet île faire (tarcourir au poinl matériel dans un sens ou dans l'antre la dislance x/.

Considérons le second intervalle de temps ('compris entre c/^ et 2 r//) ; an bout de cet intervalle, la force aura communiqué au point matériel, dans un sens ou dans l'autre, un second déplacement ar//in(ié[)cndant du premier et ([ui, en vertu du |)rincipe de l'inertie, se perpétuera jusqu'à l'époque <, faisant parcourir au point, dans un sens ou dans l'autre, la distance a(f — <!/).

L'action de la force pendant ce deuxième intervalle aura pour effet de faire parcourir au point matériel dans un sens ou dans l'autre la distance a(f — rft).

L'action de la force pendant le troisième intervalle aura pour effet de faire parcourir au point matériel, dans un sens ou dans l'antre, la distance a(^— -idl).

L'action de la force pendant l'intervalle élémentaire correspondant au temps z aura pour effet de faire parcourir au point matériel, dans un sens ou dans l'autre, la distance ot.(t ~ z).

L'effet de la force dans un intervalle élémentaire ne dépend pas du mouvement antérieur.

Le point matériel aura finalement pour abscisse à l'époque / la

somme des distances correspondant à chacun des intervalles élémentaires.

La probabilité pour que, finalement, le point matériel ait pour abscisse .r, est la probabilité pour que la somme des distances correspondant à chacun des intervalles élémentaires ait pour valeur r.

Supposons maintenant qu'un joueur B perde ou gagne, à chaque partie, une somme égale à l'etret produit par laforce dans l'élément de temps correspondant ; c'est-à-dire que ce joueur ait égale probabilité de gagner ou de perdre : la somme a^à la première partie, la somme 0L{i — dt) à la deuxième, la somme 01.(1 — -idt) à la troisième, ..., la somme y.(t — t) à la t'™% La probabilité pour que le point matériel ait pour abscisse x à l'époque / est la probabilité pour que le joueur B perde la somme x en t parties.

Les parties successives étant indépendantes, celte probabilité s'obtient en appliquant la formule du n" 227. 9 (") est le double delà valeur moyenne des carrés des pertes du joueur B pour la partie élémentaire d'ordre ~. Or, à cette partie, le joueur a égale probabilité de gagner au de perdre la somme oc(/ — ~) ; on a donc

et l'on en déduit

La probabilité pour que le joueur B perde la somme x en t parties, c'est-à-dire la probabilité pour (/ ne, à l'époque /, le point matériel soit à une distance x de son point de départ, est

= dx.

laH^

(i08. Nous pouvons appliquer à la question considérée fous les résultats relatifs aux probabilités du premier genre lorsqu'il y a indé-

I,. itAciir.i.ir.u.

poiuiaiK-t', et, 011 parlinilicr, la iiolioii dt's t'carts isoprohabirs nous coiidiiil à la proposition suivante qui résume notre analyse :

Les écarts croissent proporlionnellemeni à la puissance - du temps.

(il)'.). Il faut reniar(|ner (ine le jen de B n'est nullement l'inuige du mouvement du point matériel dans l'intervalle compris entre zéro et / el (|u'il n(> peni l'aire connaître ([ue les prohahilités r(dativesà l'époiiue /. Il Tant donc se garder d'apj)li(iuer à la question considérée les formules des prohahiljtés des deuxième et troisième genres. (Considérons, par exemple, le problème le |)lus simple des probabilités du second genre : Quelle est la probabilité pour que le point matériel dépasse au moins une fois l'abscisse -i- a? dans l'intervalle de temps/? Lorsqu'il V a indépendance nous em|)loyons un raisonnement d'une extrême simplicité faisant uniquement appel à des raisons de symétrie (n" XVJ) et qui, pour le cas considéré, se traduirait ainsi: Lorsque le point matériel francbit l'abscisse x (à l'époque /, pour fixer les idées), la probabilité d'un nouvel écart +,y (c'est-à-dire d'un écart total .x- + Y) à l'époque / est égale à la probabilité d'un nouvel écart —y (c'est-à-dire d'un écart total x — y) à la môme époque.

Il est évident que ce raisonnement est inexact; lorsque le point matériel dépasse l'abscisse -H.r, sa vitesse est dirigée vers l'extérieur et, par suite de cette vitesse acquise, la probabilité d'un nouvel écart j se produisant pendant le temps t — t^ est plus grande que la probabilité de l'écart — y se produisant dans le même temps. Le raisonnement employé lorsqu'il y a indépendance ne pourrait donc être appliqué dans le cas considéré.

610. Nous avons déjà remarqué (n° 315) que la forme de l'expression de la probabilité

-djc

n'est nullement caractéristique des cas où il va indépendance; le problème considéré donne une nouvelle preuve de ce fait. Le jeu qui serait l'image réelle du mouvement du point matériel est un jeu

r.ALCLL DES PliOBAniLITÉS. ^35

connexe d'un genre de connexité tout différent de ceux que nous avons étudiés antérieurement et, pour ce jeu encore, la probabilité est exprimée par une formule qui est un cas particulier de la précédente.

t)ll. Problèmes relatifs aux situations et aux vitesses. — Quelle est la prohabilité pour que^ à l'éiHxjue /, le point matériel soit à une distance x de son point de départ et pour qu'il soit animé d'une vitesse i> ?

Imaginons trois joueurs A. B, C et faisons correspondre chaque partie de leur jeu supposé continu à chacun des éléments de temps compris entre zéro et t.

A chaque instant le joueur A perd une somme égaie à l'accroissement de la vitesse c à cet instant.

Le jeu de B est le jeu fictif définitif au n° 607. A la partie d'ordre -: ou, si l'on veut, à l'instant t, le joueur B a égale probabilité de gagner ou de perdre la somme a(; — t).

Si l'on désigne para;' sa perte totale, x' est différent de l'écart de situation t du point M, sauf l'époque t.

Lorsqu'il s'agira de probabilités relatives à l'époque t, nous pourrons remplacer x' par x; mais, s'il s'agissait d'une autre époque, la substitution conduirait à un résultat erroné. Ce fait se conçoit immédiatement, la partie la plus importante du jeu de B est la première, alors qu'au contraire c'est le dernier élément de temps qui contribue le plus à faire varier l'écart de situation.

Le joueur C fermera le jeu, c'est-à-dire que, à chaque partie, il perdra la somme des gains de ses adversaires; sa perte totale sera :; = — V — x' .

Le jeu est équitable et les parties successives sont indépendantes ; la probabilité pour que les joueurs B et A perdent respectivement les sommes x et v en t parties est donc exprimée par la formule du n^Sôô; cette probabilité est

== — dx' ch-,

/|3/| I.. liAClUI.ll'.li.

o, est l;i toiirtion (rinslaltilili' iclnlive à x' (n° (i07) , c'esl-à-dire

^2 est la l'iinclion d'iiisfaliililc rolalivo à i'(m" (iO.")), c'csl-à-tlire -iol-I.

y s'obtient en l'orinant lu doiililc de la valeur moyenne de l'augint'iilalinii ilii produit a;'t' pour une partie et en sommant pour toutes les parties de zéro à /.

Supposons que, à la partie d'ordre -., les pertes soient .r' et c ; le produit de ees pertes est alors x'v.

A la partie suivante il y a probabilité - pour que le nouveau déplacement du |)oint matériel soit positif, alors x' augmente de a.{t — ■:); «' augmente do x et le produit x\' augmente de la quantité

Il y a également probabilité- pour que le nouveau déplacement du

point matériel soit négatif, alors ,r diminue de a (; — t), t' diminue de a et le produit j:V diminue de la quantité

ex'— [x'— «(/ — t)] [i' — «] — ax'+ i'x{t — z) — c-il — r).

L'augmentation moyenne de x'v à la partie d'ordre t est donca-(f — t); pour l'ensemble des parties, elle est

xUl—T)dT:=—.

y est le double de cette quantité; on a donc

La probabilité pour que, en t parties, les joueurs B et A perdent respectivement les sommes x et i> est alors

2lv.t--+ -(».-'

■da:' dv.

A l'époque/, x'^x et, d'après la définition de ces quantités, les pro-

habilités qui leur sont relatives sont égales. 11 en résulte que la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel M soit à une distance X de son point de départ et pour qu'il soit animé d'une vitesse i> est

dx di\

Si l'on intégre cette expression par rapport à »' entre — ce et -f- ^, on retrouve la formule du n° 607, résultat évident.

Si l'on intégre par rapport à x entre — oc et + ce, on retrouve la formule du n" 60.5, résultat évident.