La dernière formule peut s'écrire
rfi- X dx.
\fk\,llO!}t j-^ /^
D'après le principe de la probabilité composée, la probabilité pour que la vitesse soit (^ et pour que l'écart de situation soit a; est égale au produit de la probabilité pour que la vitesse soit v par la probabilité pour que l'écart de situation soit ojquand on sait que la vitesse est v. Or, dans la formule précédente, le premier terme est la probabilité pour que la vitesse soit v; donc : Lorsque l'on sait que la vitesse est v, la probabilité d' un écart x est
.dx.
y/îr
L'écart .r, qui a la plus grande probabilité et qui est en même temps la valeur moyenne et probable de x est
tv
43G L. lîAClIKUElî.
a-, est la valeur iioi'inalo ilf l'écart (|ikiii(I on sait (|iie la vitesse est «'. Les autres éearis peuvent être délinis par leur dillerence à .r, : Posons a' — .r, ^ v; la priiliahilité de l'éearl /r/n/j/v est
■.dv.
Les écarts relatifs sont proportionnels à —;i- quand la vitesse r est
dunnee, (jurlle (|ue soit celte vitesse.
Lorsque la vitesse est inconnue, les écarts (n" 607) sont proportion-
, , /T nels al - a/\ /.
La connaissance de la vilesse diminue de moitié les écarts de situation.
Ce résultat très curieux mérite d'être signalé : Le seul l'ail de savoir que la vilesse est connue sans que la valeur de cette vitesse soit spéciliée diminue de moitié les écarts relatifs de situation.
La connaissance de la valeur exacte de la vitesse ne change rien ;» ce résultat.
La connaissance de la valeur exacte de la vitesse n'influe que sur la valeur moyenne de la situation du point matériel, elle n'inilue pas sur les écarts relatifs de part et d'autre de cette valeur moyenne.
Ç)\'.i. La valeur moyenne de x lorsque c est connu (>st, comme nous l'avons vu, égale à—; ce résultat peut être obtenu par un procédé élémentaire faisant connaître un résultat intéressant sur les combinaisons.
Puisque la vitesse est \> à l'époque t, il y a eu, pendant ce temps /,
accroissements de vitesse positifs et accroissements de
vitesse négatifs.
Un accroissement ou une diminution de vitesse ayant lieu à l'époque t produisant sur. r' un accroissement on une diminution égaux à a (/ — t), la détermination de la valeur moyenne de x' et par suite celle de x se ramène à la résolution du problème suivant :
Une urne contient m boules blanches (ici//i=:- ) et ii boules
noires (ici n = )> on extrait nne à une les boules de cette urne sans
remettre dans l'urne la boule sortie; on effectue donc jh + n tirages.
Si au premier tirage la boule est blanche, un joueur H gagne la somme m -\- n ol si elle est noire il perd la somme m -\- n.
Au second tirage, si la boule est blanche, le joueur H gagne m+ n— I et si elle est noire il perd cette même somme.
Au k'"""' tirage (quel que soit k), si la boule est blanche, le joueur H gagne w + « — ^"-i- i et si elle est noire il perd la même somme. Quelle est l'espérance mathématique du joueur H ?
Chaque cas possible représente une permutation de m+« boules dont m sont blanches et n sont noires ; une de ces permutations peut se représenter par une suite comme celle-ci
La première lettre N indique (jue le premier tirage a donné une noire, ce qui a valu au joueur H la perte {m -+- n).
La deuxième, la troisième et la quatrième lettre expriment que, aux deuxième, troisième et quatrième tirages, il est sorti une boule blanche; il en résulte que le joueur II a gagné successivement les sommes m + n — i, m -h n — 2, m -h n — 3, etc.
A l'avant-dernier tirage il est sorti une noire, ce qui a produit une perte de deux francs, et au dernier tirage il est sorti une blanche, ce qui a donné un gain de un franc.
Nous nommons permutation symétrique d'une permutation donnée la permutation écrite en sens inverse; par exemple, la permulation symétrique de la précédente est
B N B N N iS B lî B N.
Chaque permutation a sa symétrique et inversement ; si l'on formait la liste de toutes les permutations directes et la liste de toutes les symétriques, chaque permutation de la première liste se trouverait dans la seconde et inversement; les listes seraient identiques, à l'ordre près.
438 !.. nVCIlEl.lKK.
Nous allons dt'iiKuilri'i' ([iio la somme des espérances corrcspondanl hune pormulalion (|uek'onque et à sa symétrique est constante.
Supposons, par exemple. (|u'iine lettre H occupe le rang? dans la pernuitalion direii(';ellc occupera le ranjj, //? -t- « — ? dans la permutai ion syniétri(|ue. Elle procurera le gain jn-\-n — / + i dans la permutation (lircclc et Ir gain / dans la permutation symélri(|U(", elle procurera donc le gain ni -^ n -><- i.
("ha(|ue lettre 15 produira donc le gain m -t- « + i et cha{|ue lettre N produira la perte m -\-n -\- \. Comme il y a m lettres B et n lettres N, le gain total sera, pour une permutation directe et sa symétrique, (in-\- n + i) {rn — n). Pour une permutation directe il sera, en moyenne,
Telle est l'espérance mathématique du joueur H.
GI4. On pourrait obtenir le même résultat, mais plus péniblement, en formant l'éfjuation auxdifTérences partielles du problème.
Soit ?/j,. l'espérance mathématique du joueur II quand il v a dans l'urne x boules Manches et i' boules noires x + y = œy, on a
En ell'et, il y a probabilité — - — pour qu'une boule blanche sorte; le joueur H gagne alors la somme (a;-i-j)etson espérance devient Wx-i,>; il y a de mémo probabilité ^ — pour qu'une boule noire sorte, le joueur H perd alors la somme {x-^y) et son espérance devient «^,;>,. L'équation précédente est donc exacte; on vérifie sans difficulté qu'elle est satisfaite en posant
61.5. Si les boules étaient replacées après chaque tirage, les enjeux suivant toujours la même loi, l'espérance mathématique du joueur H serait la même.
Au tirage de rang z, le joueur H aurait probabilité de gagner
la somme m + « — i -\- i et probabilité de perdre cette même
somme; son espérance pour ce tirage serait
m — Il ^ ( /« + « — « -h I ) '
et comme il y a m-i-Ti tirages auxquels correspondent les valeurs I, 2, 3, ...(/« 4- /z) de i, l'espérance totale de H serait
616. Si m et n sont très grands, l'expression de l'espérance mathématique peut s'écrire
-(in-\- II) {m — n),
et si l'on remplace m par et n par > on obtient comme précédemment la valeur — ■
617. En raisonnant comme précédemment (n° 612) on verrait que si l'écart de situation œ est connu, la valeur moyenne, probable et plus
probable de la vitesse \' est — ce et que les écarts de la vitesse de part
et d'autre de cette moyenne sont la moitié de ce qu'ils seraient si l'écart de situation x était inconnu.
Le seul/ait de savoir que Cécart de situation est connu diminue de moitié les écarts de vitesse.
Le seul l'ait de savoir que la vitesse est connue diminue de moitié les écarts de situation.
Il y a donc réciprocité.
Si, plus généralement, on considère trois joueurs A, B, C (jeu équitable), le seul fait de savoir que le joueur A a perdu une certaine somme diminue dans un certain rapport les écarts relatifs au jeu de B; le seul fait de savoir que le joueur B a perdu une certaine somme
44o 1. i;A(:iii:i.ii.r,.
diiiiiiuic dans le nirmc l'apporl les écarts relatifs au jeu de A. Il y a réciprocité.
Mais cette réciprocité n'existe que pour les écarts considérés deux à deux: elle n'existe pas pour l'ensemble. Le seul l'ait de savoir que A a perdu une certaine soinine diminue les écarts relatifs au jeu de H dans un certain rapport cl les écarts relalil's au jeu de C dans un autre rapport.
(IIS. Cas d'une résistance de milieu. — On suppose (jue la résistance est proportionnelle à la vitesse et que son expression est mÀi', m étant la masse du point. Quelle est la probabilité pour cpie le point matériel ait une vitesse e à l'époque t ?
Su|)posons (ju'un joueur II perde à chaque instant une somme égale à l'accroissement de la vitesse pendant cet instant et que, à répo(|uc t, la vitesse soit v.
Dans l'intervalle de temps, élémentaire suivant, il y a probabilité -
pour (juc la vitesse augmente de la (|uantiLé y. — X-e et probabilité pour qu'elle diminue de la quantité oc + Xe.
L'espérance du joueur H pour cet intervalle élémentaire (ou pour cette partie) est donc
-( a -1- /.-(•) — -( a -/■(') = Ac
L'espérance mathématique du joueur H est proportionnelle à sa perte actuelle.
La fonction d'instabilité pour la même partie est
[-(acH- A-10-+ ;^(a — /,(')' — /.m' I =
Cette quantité est donc constante.
L'espérance mathématique du joueur H étant proportionnelle à sa perte actuelle et la fonction d'instabilité de son jeu étant constante, nous sommes conduits à un problème de probabilités connexes du premier genre (n° 30.t). La probabilité pour que, en t parties, le joueur H ait perdu la somme v, c'est-à-dire la probabilité pour que, à
l'époque /, le point matériel ait la vitesse t», est
: ai.'.
-2/it
619. Lorsque le temps croit indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers la loi finale exprimée par la formule
La vitesse moyenne finale est
La vitesse probable finale est
620. La théorie des probabilités connexes à laquelle nous avons été conduits permet de résoudre le problème quand la fonction d'instabilité et l'espérance dépendent explicitement du temps (n" .314). Nous pouvons donc calculer la probabilité d'une vitesse c à l'époque /quand la force considérée est égale à une (onction donnée du temps et quand la résistance du milieu est égale au produit de la vitesse par une fonction donnée du temps.
621. Espace à deux dimensions. — Nous étudions le mouvement d'un point matériel dans un plan, la force qui sollicite ce point dans le plan étant constante en grandeur et variant pour la direction au hasard, toutes les directions avant égale vraisemblance.
Le mouvement du point considéré M peut être rapporté à deux axes coordonnés Ox, Oy; l'origine 0 des coordonnées étant la position occupée par le point à l'origine du temps.
44^ L. BACIIELIEU.
Dire (]ii(' l;i (lirt'clidu de la l'orco vario conslainment au hasard revient à dire (iiic la i)i()l)abilité pour qu'à un insfànl quelconque elle
tasse un angle 0 avec l'axe des ar est —
(>22. Problème relatif aux vitesses. — Quelle est la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel soit animé d'une vitesse dont les composantes sont X et Y ?
On doit supposer (|ue trois joueurs A, B. C perdent, à chaque instant, des sommes égales aux accroissements de X, Y, ( — X — Y) à cet instant; la probabilité cherchée est la probabilité pour que A perde la somme X et B, la somme Y, en / parties.
Le jeu étant ('(|uitable, cette probabilité est donnée par la formule du n" .■)()() et l'on a. dans le cas considéré, 91 = ^2 = a"*/, /, = "•
La probabilité cherchée est donc
La probabilité pour que la vitesse ait une valeur donnée v est
ik>.
La vitesse croit, dans l'ensemble, proportionnellement à la racine carrée du temps.
La valeur moyenne de la vitesse à l'époque l est
2 ' La valeur moyenne quadratique de la vitesse est
La valeur probable de la vitesse est
0,832. . .iy.\J l.
La valeur la plus probable de la vitesse est
La probabilité pour que, à l'époque t, la vitesse soit supérieure à V est
623. Problème relatif aux positions. — Quelle est la probabilité pour que, à i époque /, le point matériel occupe une situation donnée?
Il s'agit de calculer la probabilité pour que le point M ait pour coordonnées x, y k l'époque /.
Comme dans le cas d'un espace à une dimension, nous décomposerons l'action de la force en ses actions successives pendant les intervalles de temps (zéro, dt), (dt, idt), (idt, 3dt)
Au bout du premier intervalle dt et sous l'action de la force, le point M a parcouru une distance oidt et il y a probabilité — pour que
ce déplacement fasse un angle 6 avec l'axe des a;.
En vertu de l'inertie, ce mouvement se continue jusqu'à l'époque t, faisant parcourir au point une distance ai dans une direction quelconque.
Considérons le second intervalle de temps (compris entre dt et 2 i/t). Au bout de cet intervalle, la force aura communiqué au point matériel, dans une direction quelconque, un second déplacement a</z indépendant du premier et qui, en vertu du principe de l'inertie, se perpétuera jusqu'à l'époque t, faisant parcourir au point une distance a(« — dt).
Pendant l'intervalle élémentaire correspondant au temps t, la force aura communiqué au point matériel, dans une direction quelconque, un déplacement ar// indépendant dos précédents et qui, en vertu du principe de l'inertie, se perpétuera jusqu'à l'époque /, faisant parcourir au point une distance a(/ — t).
Le point matériel aura finalement pour abscisse à l'époque / la somme des projections sur l'axe des a; des distances correspondant à chacun <les intervalles élémentaires.
444 I- l'.Ac.iiKi.irii.
La |)i'ol)al)ilito [xnir (|ii(', liii;ili'iiii>iil, li> point iiialt'rici ait pour abscisse .1- et pour ordonnée y est la probabilité pour que les sommes des projections des distances correspondant à chacun des intervalles éléniiMilaires aient respt^ctiviMiienl pour valeurs r ety.
Supposons aiaiiitonant (|ue trois joueurs A, ]i, (^jouent aux conditions suivantes : à la partie d'ordre t, le joueur A perd une somme égale à la |)rojection de la distance a(f — t) sur l'axe des x, le joueur B perd une somme égale à la projection de la distance a(/ — t) sur l'axe des v; le joueur C gagne la somme des pertes de A et de B.
La probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel ait pour coordonnées x, y est la probabilité pour que la somme des projections considérées soient r et y ou pour que les joueurs A et B perdent respectivement les sommes x ety en / parties.
Le jeu étant équitable, la probabilité cherchée est exprimée par la formule
■ dx dy.
Pour obtenir p, (égal à '^., par raison de symétrie), on doit former le double de la valeur moyenne des carrés des pertes du joueur A pour la partie d'ordre t et intégrer ensuite entre t = o et t =^ /.
Soient ; et ^ les projections de la longueur a (/ — t) sur les axes, c'est-à-dire les pertes de A et de B à la partie d'ordre t; on a
ou. en désignant par VM la valeur moyenne.
Ces valeurs moyennes étant égales par raison de symétrie, on a
VM l- =: VM ;2 = °''^^-'^' .
La valeur moyenne des carrés des pertes du joueur A à la partie d'ordre t est donc ^^— ; on en déduit
CALCUL DES PROUABILITÉS. 44^
Pour obtenir/, on doit former le double de la valeur moyenne du produit ^ ^ et intégrer entre t =c o et t = /. Or la valeur moyenne de El^est nulle, car, à chaque valeur positive de ce produit, correspond une valeur négative de même probabilité; donc/ est nul.
Remplaçant, dans la formule précédente, o, et -pj par -^^— et y par zéro, on obtient la probabilité pour que le point matériel ail pour coordonnées X el y à l' époque t :
—^jrd-^dy.
On doit remarquer que le jeu considéré n'est nullement l'image du mouvement du point M pendant le temps t; il fait seulement connaître l'expression de la probabilité à l'époque /.
La probabilité pour que, au bout du temps t, le point M soit à une distance r de l'origine est
ii-e '
dr.
La valeur moyenne de r est
La valeur moyenne quadratique de r est
(Xt\/1
La valeur la plus probable de r est
I <xt\Q
La valeur probable de r est
446 L. BAClIEI.IEtl.
La probabilité pour que, à l'époque^, le point matériel soit à une distance supérieure à R est
En ri'sunié, les écarts de situation croissent proportionnellement à la puissance - du temps.
624. Problème relatif aux situations et aux vitesses. — Quelle est la prubahilité pour que, à l'époque t, le point matériel occupe une position donnée {x,y^ et pour qu'il soit, de plus, animé d'une vitesse dont les composantes sont X ef Y ?
Imaginons cinq joueurs A, B, C, D, E et faisons correspondre chaque partie de leur jeu supposé continu à chacun [des éléments de temps compris entre zéro et t.
Le jeu de A et de B est le jeu fictif qui a été défini au n" 623. A la partie d'ordre t ou, si l'on veut, à l'instant':, le joueur A perd une somme égale à la projection de la distance a (/ — t) sur l'axe des x et le joueur B perd une somme à la projection de la distance a(/ — t) sur l'axe des v.
Si l'on désigne par x' la perte totale de A et par j' la perte totale de B, a;' et y' sont différents des coordonnées x et y du point M, sauf pour l'époque t.
Lorsqu'il s'agira de probabilités relatives à l'époque /, nous pourrons remplacer x' par x et y' par y; mais, s'il s'agissait d'une autre époque, la substitution conduirait à un résultat erroné.
A chaque instant, les joueurs C et D perdent respectivement des sommes égales aux projections sur les axes de l'accroissement de la vitesse à cet instant.
Le joueur E ferme le jeu, il perd, à chaque instant, la somme des gains de ses adversaires; sa perte totale est m= — a?' — y— X — Y.
Le jeu est équitable et les parties successives sont indépendantes; la probabilité pour que, en t parties, les joueurs A, B, C, D perdent respectivement les sommes x',y', X, Y est exprimée par la formule du
n° 564 ; il suffit de changer les notations et de poser D'après le résultat obtenu au n° 623, on a
on a. de même, d'après le n" 622,
Il reste à calculer les fonctions / . On a d'abord
considérons par exemple /^.^ : cette quantité s'obtient en prenant le double de la variation moyenne de y' X pour la partie d'ordre -: et en intégrant le résultat entre t = o et - = t.
Or, pour toute partie ou pour tout intervalle élémentaire di, la valeur moyenne de la variation du produit v'X est nulle, car à toute valeur positive de cette variation correspond une valeur négative de même probabilité; on a donc / , 3 = o.
Nous allons maintenant calculer/ ,3 et/j,*- Supposons que, à la partie d'ordre -., les quantités j:', y , X, Y aient pour valeurs x\, x\^, X,, Y,.
Pour former ■/, 3, on doit calculer le double de la valeur moyenne de la variation du produit x\ X, relatif à la partie d'ordre - et intégrer le résultat entre t = o et t = /.
Or, à la partie d'ordre t, il y a probabilité — pour que x\ augmente
de X cosO(/ — t) et X, de a cosO; il y a donc probabilité — pour que le produit a;', X, augmente de la quantité
\x\ -H a cos9(< — t)] [X, 4- a cos9] — x\ X,.
c'est-à-dire de la quantité
x'jacos9 + Xiacos9(< — T) -H st'cos'SC^ — r). Pour calculer la variation moyenne de x\ X,, il faut multiplier l'ex-
pression précéilonlc par — ot inti'gri'rcnlre les limites 0 = o ctO = 2Tc,
le résultat est — (/ — t).
Pour obtenir/,,, on doit multiplier cette dernière quantité par deux et intégrer entre les limites t = o et t = /; on a donc finalement
En se reportant à la formule du n" .")()'i, on obtient l'expression de la {)robabilité pouriiue les joueurs A, V>, (\, D perdent respectivement les sommes x' ,y , X, Y en / parties; cette expression est
dx' dy'dy^dX.
A l'époque t, x = x,y' = jet, d'après la définition de ces quantités, les probabilités qui leur sont relatives sont égales. Il en résulte que la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel ait pour coordonnées X et y et pour qu'il soit, de plus, animé d'une vitesse dont les composantes sont X et Y est
U-'+j'i — '(Xx + ï r)-t-4^(X' + Y>l
- rfx dy d\ dY.
625. Cas d'une résistance de milieu. — On suppose que la résistance est proportionnelle à la vitesse et que ses composantes sont mk X et mk Y', m étant la masse du point.
Quelle est la probabilité pour que le point matériel ait, à l'époque i, une vitesse dont les composantes sont X et Y'?
Supposons que trois joueurs H, K, L perdent, à chaque instant, des sommes respectivement égales aux accroissements de X, Y, — X — Y pendant cet instant et que, à l'époque t, les composantes de la vitesse soient X et Y; nous allons étudier les variations de ces quantités dans l'intervalle de temps élémentaire suivant.
Pour celle parlie, il y a probabililé — pour que le joueur H perde la somme acosd — X-X. Sou espérance mathématique pour cette partie
esl donc
— (acosô— k\)^z k\;
elle est proportionnelle à la perle actuelle X.
La fonction d'instabilité du jeu de H pour la même partie est
Cette quantité est constante.
On serait conduit au même résultai pour le jeu de K: Fespérance mathématique serait k\ et la fonction d'instabilité, a-. Il faut maintenant étudier le jeu de L. Pour la partie considérée, il y a probabilité ; — pour que L perde la
somme
— X cos 6 -)- A X — a siii 6 -i- AY ;
son espérance mathématique pour cette partie est donc
: { — a cosS -H A-X - a sin 6 + A-Y) = A-( — X - Y) ;
elle est proportionnelle à la perle actuelle ( — X —Y).
La fonction d'instabilité du jeu de L pour cette partie esl de même
f ^(- xco&e ^k\- asinÔ + ÂY)'-— A^(— \ — Y)- =2«S
elle esl constante.
Les espérances étant proportionnelles aux pertes actuelles et les fonctions d'instabilité étant constantes, il suffit, pour obtenir la solution du problème proposé, d'appliquer la formule du n" 551.
La probabilité pour que, en t parties, le joueur H ait perdu la somme X et le joueur K la somme Y, c'est-à-dire la probabililé pour que, il l'époque /, le point matériel ait pour composantes de vitesse X, B. — 1. 57
4)0 !.. llM.IlKl.ir.K.
Y, est
. -A: rfXrfY.
La prohabilité pour que, à l'époque /, la jvitesse ait une valeur ilomiée i' est
—, dv.
626. Lorscjuo / croit indéliiiinuHit, la distribution des probabilités tend vers la loi finale exprimée par la formule
rtc.
La vitesse moyenne finale est
sfTk s83:
La vitesse finale la plus probable est 0,706. .
La vitesse probable finale est o,832... -=•
\ITk
La théorie des probabilités connexes à laquelle nous avons été ramenés nous permettrait de résoudre les mêmes questions en supposant que la résistance est égale au produit de la vitesse par une fonction arbitraire du temps.
627. Espace à trois dimensions. — Nous allons étudier le mouvement d'un point matériel sollicité par une force dont la grandeur est constante et dont la direction varie au hasard, toutes les directions ayant égale vraisemblance.
Le mouvement du point considéré M peut être rapporté à trois axes rectangulaires Or, 0 v, 0:;, la position initiale du point étant prise pour origine des coordonnées.
628. Problème relatif aux vitesses. — Quelle est la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel soit animé d'une citesse dont les composantes sont X, Y, Z ?
On doit supposer que quatre joueurs A, B, C, D perdenl, à chaque instant, des sommes égales aux accroissements deX,Y,Z,( — X — Y — Z) à cet instant; la probabilité cherchée est la probabilité pour que A perde la somme X; B, la somme Y, et C, la somme Z en / parties.
Le jeu est équitable et d'ailleurs identique à celui qui a été étudié au n" .589, il suffit de remplacer ç par x.
La probabilité cherchée est
d\ dY dl.
La probabilité pour que, au bout du temps'/, le point M ait une vitesse c est
■2aV
La vitesse moyenne est
2 llorl
La vitesse movenne quadratique est
v/3 /iai}t
La vitesse la plus probable est
Il oC- 1.
629. Analogie avec le mouvement de la chaleur. — L'équation du mouvement de la probabilité dans un espace à trois dimcn-
452 I,. BAC.Iir.l.IKIi.
sions (n" M'y2)
est plus lomplcxe que celle du moiiNoiin'iit de la chaleur, mais elle s'y réduit dans un cas très particulier lorsque, l'uniformité étant supposée, on a en même temps
Zl,2=0- 7.1,3= o, xi.3=o.
9, = <p, =rcp,;
l'équation du mouvement des probabilités n'est autre alors que ré(|uation de Fourior
4 \dx' àr'- ôz^ ) ^ dt
C'est précisément ce cas particulier que nous avons rencontré dans les problèmes traités aux n"" ÔSl) et ()28.
Ces problèmes sont analogues à celui qui consiste à déterminer la température à l'époque l du pointa;, j, z d'un espace indéfini quand, à l'origine du temps, il s'est produit à l'origine des coordonnées une source instantanée de chaleur.
Pareillement, les problèmes traités aux n°' 593 et 622 sont analogues à celui qui consiste à déterminer la distribution des températures à l'époque t dans un espace indéfini à deux dimensions lorsque, à l'origine du temps, il s'est produit à l'origine des coordonnées une source instantanée de chaleur.
(j30. Problème relatif aux positions. — Quelle est la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel occupe une situation donnée?
Il s'agit de calculer la probabilité pour que le point M ait pour coordonnées X, Y, z à l'époque /.
Gomme dans les cas précédents, nous pouvons décomposer l'action de la force en ses actions successives pendant les intervalles de temps (zéro, dt), [dt, idt)^ (2 dt, 3dt),
Au bout du premier intervalle dt, sous l'action de la force, le point
CALCUL DES PROBABILITKS. 453
Ma parcouru une distance 'xdt dans une direction quelconque et ce mouvement se perpétue, d'après le principe de l'inertie, avec la même vitesse jusqu'à l'époque t.
Le point parcourt donc la distance a/ dans la première direction qui lui est imprimée.
Pendant le second intervalle de temps (compris entre dt et 'idt), la force aura communiqué au point matériel, dans une direction quelconque, un nouveau déplacement y.dt indépendant du premier et. en vertu de l'inertie, ce second mouvement se perpétuera jusqu'à l'époque /. Le second mouvement fera tlonc parcourir au point M une distance y.(t — dt).
A l'instant t, la force communiquera au point matériel, dans une direction quelconque, un mouvement indépendant des précédents qui se perpétuera jusqu'à l'époque t et qui fera parcourir au point M la distance a(/ — -).
La coordonnée x du point M à l'époque t sera la somme des projections sur l'axe des x des distances correspondant à chacun des intervalles élémentaires.
La probabilité pour (jue, finalement, le point matériel ait pour coordonnées-r.v, :: est la probabilité pour que les sommes des projections des distances correspondant à chacun des intervalles élémentaires aient respectivement pour valeurs a?, y, z.
Supposons maintenant que quatre joueurs A, B, C, D jouent aux conditions suivantes : A la partie d'ordre -., le joueur A perd une somme égale à la projection de la distance a.(t — -) sur l'axe des x. Le joueur B perd une somme égale à la projection de la distance y.(t — -) sur l'axe des y. Le joueur C perd une somme égale à la projection de la distance a (/ — t) sur l'axe des z. Le joueur D gagne la somme des pertes de A, B, C.
La probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel ait pour coordonnées x, y, z est la probabilité pour que les sommes des projections considérées soient r, y, z, ou pour que les joueurs A, B, C perdent respectivement les sommes x, y, z en i parties.
Le jeu étant équitable et admettant l'indépendance, la probabilité cherchée est exprimée par la formule du n° 565; il suffit de calculer les fonctions o et / d'après les données du problème.
Pour ohtonir çp,( égal à ^2 <?• il 93 P^r raison de symétrie), on doit former le double de la valeur moyenne des carrés des pertes du joueur A pour la partie d'ordre t et intégrer ensuite entre t = o et r: — t.
Soient l, yj, 'C, les projections de la longueur cx.(i — t) sur les axes, c'est-à-dire les pertes de A, H. C à la partie d'ordre t; on a
t'-l-rj=4- ?'=«'{/ -7)», ou, en désignant par VM la valeur moyenne,
Ces valeurs moyennes étant égales par raison de symétrie, on a
La valeur moyenne des carrés des pertes du joueurA à la partie d'ordre t est donc - — 5 — - > on en déduit
Pour obtenir 5(^,2, par exemple, on doit formei' le double de la valeur moyenne de ?y) et intégrer entre -: = o et 7 = /. Or la valeur moyenne de Çy) est nulle car, à chaque valeur positive de ce produit, correspond une valeur négative de même probabilité, dont/,, 3 est nul.
Remplaçant dans la formule du n° .564 les fonctions 9 par et
les fonctions / par zéro, on obtient la probabilité pour que le point matériel ait pour coordonnées x, y, z à l'époque t :
djc dy dz .
\ 9 631. La probabilité pour (jue, au bout du temps /, le point M soit à
une distance r de son point de départ est
v/tt
dr.
La valeur moyenne de r est
2 pTôFt}
La valeur moyenne quadratique de r est
v/îV 9 La valeur la plus probable de /• est
La valeur probable de r est
632. Problèmes relatifs aux situations et aux vitesses. — Quelle est la probabilité pour que, à l'époque t, le point matériel occupe une position donnée ( -c, v, z) et pour qu'il soit, de plus, animé d'une vitesse dont les composantes sont X, Y, Z?
Imaginons sept joueurs A, B, C, D, E, F, G et faisons correspondre chaque partie de leur jeu supposé continu à chacun des éléments de temps compris entre zéro et t.
Le jeu de A, de B et de C est le jeu fictif définitif au n° 630. A la partie d'ordre -, ou, si l'on veut, à l'instant ~, le joueur A perd une somme égale à la projection de la distance y.{t — -:) sur l'axe des x, le joueur B perd une somme égale à la projection de la distance a(/ — -) sur l'axe des y et le joueur C perd une somme égale à la projection de la distance y.(t — -) sur l'axe des z.
Si l'on désigne par x', y' , z' les pertes totales de A, B, G, ces quan-
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titt's sont (lilIV'it'iiles dos cnordontuH's r, v, s du point M, saiii' pour l'cpoquc /.
Lors(|n'il s'agira des probabilités relatives à répo(|ue/, luuis pourrons rem|)lacer .r', y', z', para;, v, z; mais s'il s'agissait d'une autre époque, la substitution conduirait à un résultat erroné.
A cha(jue instant les joueurs D, E, K perdent respectivement des sommes égales aux projections sur les axes de l'accroissement de la vitesse à cet instant.
Le joueur G terme le jeu, il perd, à chaque instant, la somme des gains de ses adversaires; sa perte totale esl;/ = — .r' — v' — 3' — X — Y — Z.
Le jeu étant équitable et les parties successives étant indépendantes, la jirobabilité i)onrque, en / parties, lesjoueursA, H, C, D, E, F perdent respectivement les sommes •i', v'» z', X. Y, Z, esl exprimée par la formule du n" hiVi; il suffit de changer les notations et de poser
.r, =:./', j:2 = y', x^^zz', jc^^^X, x5^=Y. j-(;=Z. On a, d'après le résultat obtenu au n° (\'.\0,
et, d'après le n" (i2S,
Ol= «2= ©3— — -
11 reste à calculer les fonctions y.
Les fonctions y telles que y, .5 qui correspondent à une quantité a;' relative à un axe et à une composante de la vitesse suivant un autre axe sont nulles. Considérons, par exemple, Xi,s'' cette quantité s'obtient en prenant le double de la variation movenne de oc' Y pour la partie d'ordre t et en intégrant le résultat entre - 1= o et t = /.
Or, pour toute partie ou pour tout intervalle élémentaire dt, la valeur moyenne de la variation du produit it- Y est nulle, car à toute valeur positive de cette variation correspond une valeur négative de même probabilité; on a donc y , , = o.
Les fonctions telles que y, , relatives à deux quantités de même nature x', y ou telles que y 1.5 relatives à deux quantités de même nature X, Y' sont nulles, comme nous l'avons vu.
Il faut maintenant calculer les fonctions y telles que y, ^quicorres-
pondent à une quantité .r' suivant un axe et à une composante de la vitesse X suivant le même axe.
Supposons que, à la partie d'ordre t, les quantités a?', y', z' , X, Y, Z aient pour valeurs -»', , r, , s,, X,, Y,, Z,.
Pour former ■/, 4 on 'doit calculer le double de la valeur moyenne de la variation du produit r\\^ à la partie d'ordre t et intégrer entre T ^ o et T := /.
Il résulte de l'égale vraisemblance de toutes les directions que la probabilité pour que, dans un intervalle élémentaire de temps, la projection de la vitesse sur l'axe des x s'accroisse de la quantité X (nécessairement comprise entre — a et +a) est — > c'est-à-dire que toutes les valeurs de cet accroissement entre rha ont égale vraisemblance.
Si, à la partie d'ordre t, la composante X augmente de la quantité k, x' augmente de la quantité ~a(/ — -:).
Il y a donc, à la partie d'ordre t, probabilité — pour que le produit
x\\y augmente de la quantité
[a., + >.(,-)](X, + >,)-.r;x,, c'est-à-dire de la quantité
ÀHi-T) + >.[X,(i-T)+.r;].
Pour calculer la variation moyenne de a', X,, on doit multiplier l'expression précédente par — et intégrer entre les limites A = — a et A = + a ; le résultat est
Pour obtenir y, <, on doit multiplier cette dernière quantité par deux et intégrer entre les limites t = o et t = / ; on a donc finalement
En se reportant à la i'ormule générale, et en y substituant les valeurs trouvées pour les fonctions i) et y, on obtient la probabilité pour que, en t parties, les joueurs A, B, C, D, E, F perdent respectivement les sommes x' , y' , :', X, Y, Z.
