lUC.lIF.I.rF.K
A rf|)(>(iiio /, x' = .V, y =y, z' = z v[. (I';i|)rt's la (lofinitioii de ces quantités, los probabilités qui leur sont relatives sont égales, de sorte que la probabilité pour que les joueurs A, B, C, D, E, F perdent les sommes x', v , :;', X, Y. Z en / parties est la probabilité pour (pie, à l'époque (, le point matériel ail pour coordonnées x, y, ; et pour (/u'if sait, de plus ^ animé d'une vitesse dont les composantes sont X, Y, Z; celte probabilité est exprimée par la formule
(j'-f^' + î') — (lX,i-t-Ty + Z:)+ ^|X'+Ï'+Z>)
■ dx dy dz d\ d\ dL
Si l'on intèt^re cette quantité par rapport à x, à v et à :; entre — co et 4-00, on retrouve la l'ormule du m" (i28, résultat évident.
Si l'on intègre par rapport à X, à Y et à Z entre — oo et +oc, on retrouve la formule du n" 630, résultat évident.
633. Cas d'une résistance de milieu. — On suppose que la résistance est proportionnelle à la vitesse et que ses composantes sont mk\, mk\, mkT,, m étant la masse du point.
Quelle est la probabilité pour que le point matériel ait, à l'époque /. une vitesse dont les composantes sont X, Y, Z?
Il faut raisonner comme précédemment en assimilant la question posée à un problème relatif à un jeu ; on est alors ramené aux probabilités connexes du premier genre et la probabilité demandée est exprimée par la formule
d\ d\ dZ.
La probabilité pour que, à l'époque /, la vitesse ait une valeur donnée V est
v^[ftc— "')]^
CALCLL DES PROBABILITÉS. 4^9
634. Lorsque / croît indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers la loi finale exprimée par la formule
dv.
La vitesse moyenne finale est
La vitesse finale probable est
La vitesse finale la plus probable est
\/fk-
635. Mécanique du corps solide. — Relativement à la mécanique des systèmes, nous étudierons seulement le cas d'un solide plan mobile autour d'un de ses points qui est fixe; un certain nombre de forces dont la direction varie au hasard agissant en des points donnés du solide.
Celui-ci étani initialement animé d'une vitesse angulaire co„, quelle est la probabilité pour qu'il devienne immobile pour la première fois à l'époque t ?
Imaginons un joueurHqui, dans chaque élément de temps, gagnerait une somme égale à l'augmentation de la vitesse angulaire ou perdrait une somme égale à la diminution de cette vitesse pendant cet élément de temps; le problème proposé se ramène immédiatement au suivant:
Un joueur H possède une fortune Wq, quelle est la probabilité pour qu'il soit ruiné en jouant exactement / parties?
C'est un problème de probabilités du second genre qui a été résolu dans le dixième Chapitre.
46o I. liM'.llKl.lKU.
Toutes les directions de toutes les forces ont égale vriiisemhlancc, c'est ce que nous entendons ])ar le terme de forces variant [au hasard.
Dans ces conditions, une augnuMilation de vitesse angulaire à un instant (|uelcon(iue a nicine prohaltilitc (in'nno diminution de vitesse égale et le jeu de H est équitable ; il sui'tit alors d'appliquer la formule du n» 339.
La probabilité cherchée est exprimée par la formule
dt.
dans le cas le plus simple où le couple dil au hasard est constant et,
plus généralement, par la formule
v/^9(0\/?(Ô lorsque le couple varie suivant une fonction donnée du temps.
G36. La valeur du couple se déduitdes grandeurs données des forces qui agissent en cha(|ue point du solide.
Lorsque la fonction '^(^)est arbitraire (elle doit être nécessairement positive et croissante), les résultats qu'on peut déduire de l'expression précédente dépendent de la forme de cette [fonction ; le cas le plus simple, qui correspond à la première formule, conduit à des résultats intéressants :
Le solide finira par s'arrêter, car si l'on intègre l'expression de la probabilité entre / = o et i = ^, on trouve l'unité pour valeur de l'intégrale, l'arrêt se produira donc nécessairement.
L'époque la plus probable de l'arrêt est t = y-^-
L'époque probable de l'arrêt ^correspond à la durée qui a autant de chances d'être ou de ne pas être dépassée; cette époque probable est
donnée par la tormule / = - — ■
L'époque moyenne de l'arrêt est, |)ar définition, l'espérance mathématique d'un joueur K qui devrait toucher une somme proportionnelle
au temps que met le solide pour s'immobiliser. Cette espérance est infinie.
637. Cas d'un frottement. — Nous avons supposé que le mouvement de rotation se produisait sans frottement ; cette hypothèse n'est pas nécessaire à la condition d'admettre que les forces agissantes soient constantes en grandeur et que le point fixe soit un point de symétrie pour le solide, de sorte que le frottement soit dû uniquement aux forces agissantes.
Le jeu de H auquel nous pouvons toujours ramener le problème proposé quelles que soient les conditions admises n'est plus équitable, mais il est uniforme et il suffit de lui appliquer l'analyse développée au n° 342.
La probabilité pour que. le solide soit immobilise pour la première fois à l'époque t est
\/Kt\'tZ
dt.
Le solide est soumis à l'action de deux couples; l'un, dû au hasard, agit indifféremment dans les deux sens; l'autre, dû au frottement, est toujours retardateur.
Du fait de ce second couple, le jeu de H est désavantageux, 'j/, (qui est nécessairement négatif) est proportionnel à la valeur jmoyenne du couple dû au frottement, c'est-à-dire proportionnel à la résultante de toutes les forces pendant l'élément de temps dt.
ç, dépend du couple dû au hasard et du couple dû au frottement pendant l'élément dt.
638. La probabilité pour que l'immobilité se produise pour la première fois avant l'époque t est
-j= e-'>''dl-i--Le '• / e''-'dl.
L'immobilité finira nécessairement par se produire, puisqu'elle se produirait même si le frottement n'existait pas.
4<32 I,. lî.Vr.HKLlER.
La valeur ihommiiic ilii ti'iiips au bout diKjuel se produira pour la |)remière fois riniinohililé n'est plus inliiiio comme dans le cas considéré
précédemmeni ; elle a pour expression — ^•
639. Pour montrer comment on peut calculer i|/, et cp,, nous allons considérer le cas très simple où une seule force F' dont la direction varie au hasard est appli(|uéc au point A dont la distance à l'axe 0 est r.
La pression exercée sur l'axe est constamment égale à F; le couple dû au frottement est donc proportionnel à F (soit par exemple aY son moment) et v{^, est proportionnel à a F.
Il y a probabilité — pour que F fasse, à un instant quelconque, un
angle 0 avec OA et, par suite, pour que le couple dû au hasard ait pour moment F'/-sinO.
II y a donc, à chaque instant, probabilité — pour que le couple résultant ait pour moment Frsin 6 — aY.
Lorsque le couple résultant a un moment donné C, la vitesse de
rotation du solide augmente de la quantité rr-r;' k étant le rayon de
giration du solide, relativement au point 0, et M sa masse.
Lorsque la vitesse de rotation augmente de la quantité -rrrr^, le joueur A
gagne la somme j^-
Il y a donc, dans chaque élément de temps, probabilité — pour que le joueur H gagne la somme
¥ r sinG — a F
'i, est la valeur moyenne des gains de H dans un élément de temps; on a donc
r Vrs\nQ — aY dB aY
cp, est, pour un élément de temps, le double de la valeur moyenne des carrés des gains et des pertes de H diminué du double du carré de la
valeur moyenne des gains; on a donc
"^'"Jo ^LV M-^"' / VM-^'/ J 2J: ~ (MA-
IS
640. Nous voyons, par ce qui précède, que les progrès de la mécanique du hasard sont intimement liés à ceux de la théorie des probabilités connexes; c'est cette dernière théorie qui nous a permis de traiter le problème du mouvement d'un point matériel dans un milieu résistant et, inversement, la recherche de la loi des espaces nous a conduits à une nouvelle classe de probabilités connexes que la théorie pure n'eût certainement pas fait connaître.
D'autres problèmes de la mécanique du hasard conduiraient à l'étude de nouvelles sortes de probabilités connexes :
Reprenons, par exemple, le cas du mouvement d'un solide plan autour d'un point fixe par rapport auquel il est symétrique : le solide part du repos, il est soumis à l'action de forces dépendant du hasard et à l'action du frottement de l'axe. Si l'on veut déterminer la probabilité pour que le solide ait une vitesse angulaire w à l'époque/, on assimile, suivant notre méthode générale, le problème proposé à une question relative à un jeu. On suppose qu'un joueur H perde, à chaque instant, une somme égale à l'augmentation de la vitesse à cet instant; la probabilité d'une vitesse w à l'époque t est la probabilité d'une perte co en t parties.
Le frottement étant toujours retardateur, le jeu considéré est avantageux tant que le joueur perd, c'est-à-dire tant que le corps tourne dans un sens; il devient désavantageux quand la rotation se produit dans l'autre sens, c'est-à-dire quand le joueur gagne. La question proposée conduit ainsi à une nouvelle sorte de connexité.
Considérons toujours le même problème, mais supposons que le solide ne soit pas symétrique relativement à son axe; le frottement dépendra alors des forces d'inertie, c'est-à-dire du carré de la vitesse. Nous serons ainsi conduits à étudier de nouvelles probabilités connexes telles que l'espérance élémentaire dépende du carré de la perte actuelle.
Lamécanique du hasard conduitdonc àia considération de nouvelles sortes de probabilités connexes.
CHAPITUE XXII.
PHOBVIULITÉS INVERSES.
()4I. La théorie des probabilités continues est indépendante de la théorie des probabilités discontinues, et c'est à ce fait qu'elle doit sa grande généralité.
Dans certains cas particuliers on peut déduire les formules continues des formules discontinues correspondantes grâce à l'emploi de l'égalité asymptoticjue de Slirling. Ce procédé exige évidemment la connaissance préalable des probabilités discontinues; on ne peut l'employer souvent, mais il conduit parfois très simplement au résultat.
Rappelons que la formule de Slirling
n ! = e~" n" sJiTzn
exprime une égalité asymplofique ; la différence entre ses deux membres croit indéfiniment avec n, mais leur rapport tend vers un. Les inégalités suivantes
n ! > e~" n" s/inii, n ! < e-" n" sfïûn e'"
montrent la grande approximation fournie par la formule de Stirling. Un exemple numérique montrera encore l'approximation obtenue par cette formule; en supposant, par exemple, que « = 20, on a
20! = 2432902008176640000, g-^» 20'° \f^ôn = 242 278688551 o4ooooo;
le rapport des deux nombres est 1,00417. 642. Formules asymtotiques relatives aux épreuves répé-
CALCUL nr.s probabilités. /|6.')
tées. — La probabilité d'un événement est />, la probabilité de l'événement contraire est q — i — p. La probabilité pour que, en a épreuves, l'événement se produise m fois est (n" 42)
— p'" aV~"'.
w!(jjL — w)!^ ^
La plus grande probabilité correspond au cas où m = ap.
La valeur moyenne du nombre des arrivées de l'événement est u.p.
Le cas en quelque sorte normal est celui pour lequel l'événement considéré et l'événement contraire se produisent proportionnellement à leur probabilité. Les autres cas sont définis par leur différence ii celui-là.
Nous dirons que l'écart est x quand l'événement se sera produit u.p -T- X fois.
La probabilité pour que l'écart soit x est, d'après la formule précédente,
nH/j+x q\t.ii-x
643. Transformons celte formule par l'égalité de Stirling en supposant - néerligeable et ^ fini. Cette formule se réduit à la suivante :
On a
log( I = (ptf/ — j; -I-
Hp 2'J."-p-
3,aV''
3;xV/'
en additionnant et en supprimant les quantités négligeables en vertu des hypothèses faites, on obtient
'|()6 !.. nAr.iiEi.ir.n.
Kii iTinaniuanl que - -+- i = — et en passant des logarithmes aux ' I' 1 P'I
iiiiinhres. on obtient
lin portant cette valeur dans l'expression ci-dessus, elle devient
\Ji Jtfi/?9
TeZ/tf <'5f /a formule asymptotique exprimant la probabilité de l'écart x en u. épreuves.
C'est celle que nous avions obtenue par un autre procédé (n" 262).
64'i. Cas de plusieurs variables. - A chaque épreuve, n événements A,, A., . .. A„, de probabilités/j,,/>^, — /j„ peuvent se produire et s'excluent mutuellement de sorte que /j, -\-p-,'+- ■■• +/»«— i-La j)rohabililé pour (lue, en ij. épreuves, le premier événement se produise m, fois, le se(;()nd m.^ fois, .... le /i'*"""/?!,; fois (m, + /«o -f- . . . 4- /w„ ^ [Jt) est (n" 50)
La plus grande probabilitécorrespondaucasoù w, = \>.p^,m.,= \j.p.,, ..., m„ = ap„.
La valeur moyenne du nombre des arrivées du premier événement est u.p,, celle qui correspond au second événement est [ip.,, etc.
Le cas en quelque sorte normal est celui pour lequel les événements se produisent proportionnellement à leur probabilité. Les autres cas son! définis par leurs dillerences à celui-ci.
Nous dirons que les écarts sont x,, x., x„ quand l'événement A,
se sera produit \^.p^->,-.r^ fois, l'événement A^, u./)^, -i- .r^ fois, . . ., l'événement A„, jj./),, -f- .r„ fois {x^ -^x.,+-... 4- x„ ^ o).
La probabilité pour que les écarts soient ■v^, v^. ...,x„, en a épreuves
CALCUL DES PROBAlilLlTF.S.
est, d'après la formule précédente.
GA."). Transformons cette formule par l'égalité de Stirling en sup-
• soient négligeables, et ^,
s/ix
posant (X assez grand pour que— > — > •• ^i • • linis. L'expression précédente devient
(\/27rfx)" ^\/p,p,...p„
On a
