Z,.2= 1 ■■îZo
(a; -h 1) (.r-i- 2)Zj;,.2= J-(.r-i- i)Zx-i.2 + -c- + ■■'■• -t- 3et en additionnant
(x-t- I) (x-f- 2)Zx,>= 4 -i ^^ TT -< + ■ix;
5G !.. IIAC.IIKI.IKU.
on a donc
t'I jiliis gt'iK'raleiiiciil On en dcdnit
„ .r* + X + 6 . . Jr' -+- .r + y 4- .y*
La valeur moyenne cherchée est donc
inn (m + « -h 2)
^tllytl
81. Nous venons de calculer la valeur moyenne du nombre des tirages (|u'il faudra eircctuer pour que toutes les houles d'une même couleur quelcoïKiue soient sorties; il est intéressant de chercher la part qui revient dans cette valeur moyenne à la sortie en premier des boules blanches.
Désii,Mions par V^^ la valeur moyenne absolue du nombre de^ tirages qu'il faudra ell'ectuer pour que toutes les boules blanches sortent, quand .r boules blanches et r boules noires sont encore dans l'urne. La fonction V doit satisfaire à l'équation aux différences partielles
En effet, le premier tirage aura nécessairement lieu et celui-ci, d'après un problème précédemment traité (n° 78), a probabilité —f^ — pour compter dans la valeur moyenne dont il s'agit. Ensuite deux cas seront à distinguer comme pour la moyenne totale Uj.^. On devra également avoir V„^ = o et V^o= o-
L'équation précédente a pour solution
la valeur moyenne cherchée est donc
ri
CALCUL DES PROBABILITKS. ^n
La même moyenne correspondant à la sortie des boules noires serait
La somme de ces deux moyennes est
nin { ni -h ft -h 2)
ce qui devait être.
82. Pour obtenir la valeur moyenne relative quand les boules blanches sortent toutes d'abord, il suffit de diviser V„; „ par la probabilité qu'ont les boules blanches de sortir les premières (n" 78);
on obtient ainsi
m ri ru ■+- n m {m -+- n ) ni -T- I n /« H- 1
Donc, la valeur moyenne du nombre des tirages, quand les boules blanches sortent les premières, est
et la valeur moyenne, quand les boules noires sortent les premières, est
Ces deux valeurs sont très voisines l'une de l'autre et très voisines de m -h n, quel que soit le rapport de m'a n.
83. Une urne contient m boules blanches et n boules noires; on les extrait une à unejusquà ce que l'urne soil vir/e. m étant plus grand que n, quelle est la probabilité pour que, pendant toute la durée du tirage, on ait toujours extrait plus de boules blanches que de boides noires?
Nous chercherons d'abord la probabilité pour que, à un tirage (juelconque, on ait extrait autant de boules noires <|ue de boules blanches. Le nombre de tous les cas possibles est celui des permutations de B. — L 8
58 1. i;\(.iir.i.ii-.n.
m -h n Irtiros, doiil m soiil chairs ciilro elles et /( égales enire elles,
l'iie (|iieie()mnie clo ces iiciinulalioiis peiil se représenter par la
suite
M, indique que la première houle extraite est blanche, M^ exprime (|ue la seconde houle est hlaiielie, N, que la troisième boule est noire, etc.
Le nombre des cas favorables comprendra d'abord le nombre de toutes les permutations oommeneant par N,, soit
( ni-\- n — I ■) !
et le nombre des permutations commençant par M, et telles qu'il un tirage quelconque y le nombre des N soit égal à celui des M. Considérons une de ces permutations
M, Mi M, N\ M, Me Nt • • • Nt My+i ^y+2 ■ ■
et formons la permutation en quelque sorte symétrique pour les y premières lettres et identique poui' les lettres suivantes
N.N^NaM^NsNeM, . . . M^My^^N^^, . . .,
à chacune des permutations de la première forme correspond une permutation de la seconde.
Réciproquement, àtoute permutation commençantpar N, correspond une permutation de la première forme pour laquelle, à un certain rang, le nombre des N est égal à celui des M.
En effet, en appelant successivement les lettres d'une permutation commençant par X|, il arrivera un moment où le nombre des M égalera le nombre des N, puisque m est supérieur à n. Dans la permutation symétrique le nombre des N sera alors égal au nombre des M. Ainsi, à chaque permutation commençant par N, correspond une permutation favorable commençant par M, et le nombre total des permu-
CALCUL DES PROBABILITÉS. Sq
tations favorables est
(in-{- a — I ) !
La probabilité pour que, à un tirage quelconque, le nombre des )ule donc
boules noires extraites soit égal au nombre des boules blancbes est
in\ {n — I ; ! {m -h n)\ m -+- n
et la probabilité pour que le nombre des boules blanches extraites soit constamment supérieur au nombre des boules noires est
84. Une urne contient m houles blanches et n boules noires • on les extrait une à unejusquà ce que l'urne soit ride, m étant plus i^rand quen, quelle est la probabilité pour que, pendant toute la durée du tiroiie. on ait toujours extrait plus de boules blanches que de boules noires et pour que de plus la différence entre le nombre des boules blanches et celui des boules noires ait été constamment inférieure à un nombre donné kl
Le nombre des cas possibles est, comme pour le problème précédent,
Le nombre des cas favorables est celui des permutations
M.MçMjNjMsNo...
telles que, en lisant les lettres de gauche à droite, le nombre des lettres M soit durant toute la lecture supérieur à celui des lettres N, mais d'une quantité plus petite que k.
Pour trouver le nombre de ces permutations, nous aurons recours à la solution d'un problème très important de la théorie générale du jeu(n° 190).
Le joueur A possède .r francs, et le joueur B possède r francs, ils jouent I franc par partie, et, après chaque partie, le perdant verse I franc au gagnant.
()o I.. n.vc.iiEi.iF.n.
La probabililc pour que le join-iir A ait perdu ses a; francs exacteiiiciil à la u.'"'"' partie a pour expression
les quantités II ayant pour valeur
fx!
Nous allons évaluer autrement cette probabilité. Pour chaque partie, il y a deux alternatives, le joueur Apeutgagner ou perdre; donc, le nombre total des cas possibles en a parties est -2^.
Si le joueur A a perdu a; francs en u parties, c'estqu'ila gagné
parties et perdu - — - parties. On peut représenter ses alternatives de
gains et de pertes par la suite
G,Ga\...rv.
G, indique ([ue la première partie a donné un gain ; G;, représente un gain pour la seconde partie, P3 une perte pour la troisième, etc. Poui' (in'iine permutation soit favorable, il faut que : 1° elle se coni-
pose de - — - lettres G et de lettres P; 2° il faut que, en la lisant
de gauche à droite, le nombre des lettres G ne dépasse pas le nombre des lettres P de la quantité r, car si la difTérence dépassait ce chiffre, le jeu s'arrêterait, le joueur B ayant perdu les y francs qu'il consacrait au jeu.
En lisant la permutation dans le même sens, il faut pour la même raison que le nombre des lettres P ne soit jamais supérieur au nombre des lettres G de la (juantité x, sauf pour la dernière lettre.
Si maintenant on lit les lettres en commençant par la fin, c'està-dire de droite à gauche, une permutation sera favorable si, durant toute la lecture, le nombre des lettres P est constamment supérieur au nombre des lettres G mais ne le dépasse pas de la quantité x -\-y-
Désignons par H le nombre des permutations de u. lettres, dont - — ^
CALCUL DES PROBABILITÉS. Gl
lettres G et - — - lettres P, ces permutations étant telles que, en les
lisant dans un sens déterminé : i" le nombre des lettres P soit pendant
toute la lecture supérieur au nombre des lettres G; 2" l'excès du
nombre des lettres P sur le nombre des lettres G soit constamment
inférieur à une quantité donnée x -h y.
La probabilité pour que le joueur A perde ses ce francs exactement
à la u.''^'"'' partie est alors
Cette probabilité a aussi pour valeur U, on a donc
85. Reprenons la question qui nous est posée ; la probabilité est le rapport du nombre des cas favorables au nombre des cas possibles, elle a donc pour valeur
{m -\~ ii)\ (m + /))]
Dans l'expression de H, on devra remplacer x -j-y par/-, - — ^ par/?, par m etit. par m -+- n. La probabilité cherchée a pour valeur
m \ n\ r //) — Il ik — (m — ii\ 2 A' -h ( m — n )
~ {m — ■2k)\ (n-^2k)'. ~^ (n —ik^i^m + ik)\ "•••]•
L'expression d'un terme est égale à celle de l'antéprécédent dans laquelle on augmente le coefficient de k d'une unité dans le dénominateur et de deux unités dans le numérateur.
Si, par exemple, m = G, n = 3, k = 4, la formule donne pour probabilité
Il y a donc huit permutations favorables, résultat qu'on obtient directement sans difficulté.
62 ' I.. liAC.IM.I.lKll.
86. Une urne conlieiU m houles hUinches el n boules noires; on les eviniil une à une Jusqu'à ce que l'urru' soit ride, m étant plus grand que n , quelle est la prohalnlitè pour que^ pendant toute la durée du tirage^ le nombre des boules noires e.rtraites ne déjjasse pas de la quantité a. le nombre des boules blanc/us?
Le nuiiihro des cas |)nssil)l('s csl, coiiinic pour le problème précédent,
(ni-h n)\ m ! n !
Lp nombre des cas favorables est celui des pernnilations
telles que, en lisant les lettres de gauche à droite, le nombre des lettres N ne dépasse jamais le nombre des lettres M de la(|iiaiitité a.
Pour trouver le nombre de ces permutations, nous aurons recours à ia solution d'un problème de la théorie générale du jeu (n° 142).
Le joueur A possède z francs et le joueur B une fortune infinie, ils jouent I franc |)ar partie et après cha(iue partie le [)erdant verse 1 franc au gagnant.
La probabilité pour (|ue, à ia a''"" partie, le joueur A ait perdu la somme z — v est (n° 142)
>sous allons évaluer autrement cette probabilité: Puisqu'il doit être joué u. parties, le nombre des cas possibles est o.^. Si le joueur A a
perdu = — V francs en a parties, c'est qu'il a gagné - — ^ — ^ parties et
perdu tiZU: — Z parties. On peut représenter ses alternatives de gains et de pertes par la suite
G, indique que la première partie a donné un gain; Gj représente un gain pour la seconde partie; P3 une perte pour la troisième, etc. Pour qu'une permutation soit favorable il faut que : 1° elle se com-
pose de ^~ """"^ lettres G et de ^- — ^ - lettres P ; 2" il faut que. en
la lisant de gauche à droite, le nombre des lettres P ne dépasse pas le nombre des lettres G de laquantités :, car autrement le jeu s'arrêterait, le joueur A ayant perdu tout ce qu'il possède.
Si maintenant on lit les lettres en commençant parla fin. c'est-àdire de droite à gauche, une permutation sera favorable si, durant toute la lecture, le nombre des lettres G ne dépasse pas le nombre des lettres P de la quantité v.
Désignons par K le nombre des permutations de u. lettres, dont
^~ " ~'"' lettres G et '^ ~ "~-^ lettres P, ces permutations étant telles 2 3
que, en les lisant dans un sens déterminé, le nombre des lettres G ne
dépasse jamais le nombre des lettres P de la quantité \'.
La probabilité pour que le joueur A perde la somme z — y h
la tjL'*""" partie a été obtenue ci-dessus, mais elle a aussi pour expres-
sion —, et de l'éstalité de ces deux valeurs on déduit
2iJ. o
Le nombre des permutations de m lettres M etn lettres N telles que, en les lisant dans un sens déterminé, le nombre des lettres Nue dépasse jamais, pendant la durée de la lecture, le nombre des lettres M de la
quantité a, s'obtient en remplaçant dans la dernière formule '■ ^^ — ^
par n, ' — '-^ — - par m et v par a; ce nombre est donc
et la probabilité pour que, pendant toute la durée du tirage, le nombre des boules noires n'ait jamais dépassé le nombre des boules blanches de la quantité a est
87. La méthode ne s'applique pas lorsque a = 0. Lorsque a = i, la
()'( I.. i;.u,iii:lier.
probal)ilit{' est
Hopronons lo cas où a = o, c'est-à-dire le cas où l'on deniaiule la prolialiililc pour (jne le iiomhre des houles noires extraites soi! toujours inférieur au nombre des boules blanches. I.a prcmirrc houle doit être
blanche, la probabilité de cette éventualité est — '- Il reste alors
f,i — I boules blanches dans l'urne, et la probabilité pour que le nombre des houles noires ne (lé|)asse jamais d'une unité le nombre des houles blanches s'obtient en reniplavant dans la formule relative au cas où a = I, la quantité m par /n — i. La probabilité pour(|ue le nombre des boules noires extraites soit toujours inférieur au nombre des houles blanches est donc
C'est le résultat que nous avons déjà obtenu (n° 83).
La méthode que nous avons employée dans le cas général permet de résoudre le problème suivant :
Une urne contient m boules blanches et n houles noires, on les extrait une aune, jusqu'à ce que l'urne soit vide, m étant plus grand que n , quelle est la probabilité pour que, pendant toute la durée du tirage., le nombre des boules blanches extraites ne dépasse pas le nombre des boules noires de la quantité m — « + ^ ?
Cette probabilité a pour valeur
On pourrait résoudre ce même problème en supposant de plus que le nombre des boules noires extraites ne doive jamais dépasser de la (juantite a le nombre des boules blanches. 11 faudrait se baser sur le résultat du n" 197.
88. Une urne contient m boules blanches et n boules noires, on les extrait une à une sans remettre dans l'urne les boules sorties. Quelle est laprobabilité pour extraire x boules blanches avant y boules noires?
1° On peut extraire les x blanches les unes après les autres, la probabilité de cette éventualité est
2° On peut extraire x blanches et un-e noire, si l'on donne le rang que doit occuper la boule noire, la probabilité est
m -+- Il m -t- n — i m -+- n — x -H i m ^ n — x
la boule noire peut occuper les x premiers rangs, la probal)ilité est donc, si le rang est arbitraire,
|«i -1- n m -i- it — I
3° On peut extraire x blanches et deux noires, si l'on fixe les rangs des deux boules noires, la probabilité est
m -+- /( m -h n — i m -\- n — .c -t- i m -\- ii — x m + n — x — i
et si les rangs sont arbitraires la probabilité a pour valeur
m -t- n ni -\- n
ni — .r + I
nt + « — X -T-
