V-Pt-t-^i + l
fx/), + ^, + -^
■2j\F-ri '^i-'-p' ^i^'pt
li /',+.<■„+-
/xp
■i/\l^Pn n^Pn
en additionnant et en supprimant les quantités négligeables en vertu des hypothèses faites, on obtient
logH I
en revenant des logarithmes aux nombres et en portant cette valeur dans l'expression ci-dessus, elle devient
(y/ 2 -p.)" \lp\Pi- ■ p.,
Telle est la formule asymptolique exprimant la probabilité pour que les écarts soient x^ , x.,, . . ., x,, en u. épreuves.
En réalité la formule contient seulement n — i variables r puisque .r, + a--.j-4- ... -i-.r„ = o et elle devrait être multipliée par un infiniment petit tel que </a;,</a;., . . . V.r„, ou dx.,dv^ . . . dx,, formé par la suppression d'un des éléments de la quantité </a?|r/.t\, . .. dx„ ,flx„.
'|(>S !.. l'.Ar.iii iii'ii.
Aliii inie la roriiuilc rcsie syméiriijiic, nous nous Lçaiderous d'éliiiiiner aucune variable et nous n'écrirons rinliniment petit que dans les cas où une intégration devra être efl'ectuée.
()'i(i. La i'orniule as\ ni|»(oti(iuc
Pi: p^p,+ >; pi>-ih->-.^.. . . pv-r„< '■„
(^/,,H-:r,)!(pL/,,+ .r:,)!...(^p„+^„)!''' '' '"
±rii,d......ik...f:îl
(s/aTTfi)" ' \0>, /h-- Pn
que nous venons de démontrer nous sera souvent utile; elle suppose qiu" a est un grand nombre, que p,, P2, ■• -, Pn sont des nombres positifs ayant pour somme un et que x, -h x.^-\-...-h x„ = o.
647. La somme des probabilités de tous les cas possibles est un, on a donc
d'après notre démonstration laformule estasymplotique, maison peut démnnlrer directement qu'elle est vraie (juel (|ue soit a.
()'iS. On peut encore appliquer la formule de Stirling à la question suivante :
Une urne renferme^, boules blanches, /c^ boules noires /•„ boules
vertes; on en extrait u. boules (soit ensemble, soit successivement sans les remplacer dans l'urne); la probabilité pour (jue, sur les a boules, il v ait m^ boules blanches, m., boules noires, ..., /«,j boules vertes (m, -\-m.,-{- .. . +- m„ = a) est (n° 75 )
n,^\inA...in„\ (/:, — ni,)<. (/.-,— /?(,)! (/,„ — «/„): (/,-, -h /,, +...-t- /,„ )!
La valeur moyenne du nombre des boules blanches (|ui sortent en a éni'fMives est (JL 7 -, — 7- • La plus arrande probabilile lorstiue
CALCUL DKS PROBABILITÉS. 4^9
u. est un iJfraiid nombre correspond au cas où m, = u. , 7-
Ces dernières valeurs de w,, /n., ... coi'respondent au i;as en quelque sorte normal.
Lorsqu'il sortira de l'urne -, . ^ ' -, — f-a;, boules blanches,
-, , ^ ' -, — h .r., boules noires, ..., ; . " r + *'« boules
vertes, nous dirons que les écarts sont x,, cc^, r„.
On a évidemment (x, -+- x-^ -h . . . -h x„) = o. Si l'on pose
/''-A-,-t-A2 + -. -^/w,' '^■'" A-, + A2 -+-...+ /.„' ■ ■' '''"^A-,+ A,+.. .+ /.„' la probabilité pour que les écarts soient ir,, x.,, . . ., x„ peut s'écrire
ff! ■'<Pt's/>n'. . . ..y}„\
(fiyOi + j:,)!(fi/>,-(-./-j)! . .. (ixp„-^,r„)l s'.
5 désignant la somme X-, -i- X- ,+ ... -t- X„.
649. Appliquons à ce résultat la formule du n" G'iti. La probabilité pour que les écarts soient r,. x.^, . . ., .r„ en a tirages est
si l'on compare cette formule à celle du n" B'i.ï, on voit que, dans le cas actuel, les écarts sont diminués dans le rapport de \.v — u. à \s.
6.50. Probabilités inverses. — Dans les questions étudiées jus- ([u'à présent les données de chaque problème comportaient des probabilités connues exactement; nous allons maintenant étudier les cas
'\~n I,. lîACIlKl.lKI!.
OÙ ces probabilités soii( données par l'expérience, en admettant toujours que les épreuves passées ou futures sont identiques.
Lorsqu'un événement a. pour probabilité r à cbaque épreuve, si l'on cireclue un jjirand nombre jj. d'épreuves, la valeur moyenne probable et plus probable ilu nombre des arrivées de l'événement est u.r.
Si l'on considère le nombre des arrivées de l'événement comme égal à ar, on commt>t une erreur relative d'autant plus faible que [x est plus grand.
Inversement : si, sur un grand nombre [j. d'épreuves, un événement s'est produit un grand nombre w de l'ois, la prid)abilité inconnue de
l'événement est très voisine du rapport — et elle en est d'autant plus voisine que [jl est plus grand.
Le fait est évident; on a, en désignant par a: l'écart,
m = u-r -h a;, don — ^^r-\ >
- tendant vers zéro lorsque u. augmente, — tend vers r.
Lorsqu'on ignore la valeur de la probabilité d'un événement qui s'est produit w fois en u. épreuves; a, m et [x — m étant de grands nombres; il est donc rationnel d'adopter pour cette valeur le rapport — ■
Nous adopterons cette valeur sans faire d'abord aucune hypothèse sur les nombres a, m, ^j. — m.
Nous supposons donc que, si un événement s'est produit m fois en u. épreuves, dans l'ignorance où l'on est de la valeur exacte /• de la probabilité de l'événement, on prend pour mesure de cette quantité le rapport — = p.
On commet ainsi une certaine erreur inconnue, p - r = t. L'événement de probabilité r s'étant produit m fois en p. épreuves, l'écart X est défini par l'égalité
Puisque m — ^p, cette égalité peut s'écrire
CALCUL DES PROBABILITÉS, f\-]l
On on déduit, en désignant par VM la valeur moyenne,
VM£ = -VMa; = o.
En adoptant la valeur — . l'erreur commise est nulle, en moyenne.
651. La valeur moyenne du carré de l'erreur varie en raison inverse du nombre des épreuves.
De l'égalité £ = —, on déduit î^ = — 5 et
La valeur moyenne dea:^ est \>.r{i — r) (n° 32), donc
Cette égalité démontre le théorème. On doit remarquer que, rn'étant pas connu, la valeur moyenne de £■ n'est pas connue, mais on peut affirmer qu'elle varie en raison inverse de p..
652. La supposition d'un grand nombre d'épreuves permet de calculer la probabilité pour que la valeur — =/^ soit erronée de la quan-
tité £.
D'après l'égalité u.z = a-, la probabilité pour que l'erreur soit t est la probabilité pour que l'écart x soit l«.£ ; cette probabilité est (n° 643)
v/7:\/2p./-(i — /■) OU
\jT.\j'ir{\^ r)
Telle est la probabilité pour que la valeur — soit erronée de £.
Cette formule montre que la quantité — eœprirne ta prohabiUté avec une précision proportionnelle à la racine carrée du nombre des épreuves.
\n-2 y.. liAC.iir.i.iF.r..
(■)."):{. Ccllf lor le contient la probabilité exacte et inconnue/', mais
la supposition des i;r;in(ls nombres permet d'y remplacer /-(i /■)par p(^i — p) -- pq\ on a, en ellet.
itl
d'où
Les termes du second membre sont infiniment petits.
Kn résumé : Un événement s'étani produit m fois en |ji. épreuves, m et [JL étant de très grands nombres, on considère le rapport— = p comme représentant la probabilité inconnue de l'événement. La probabilité pour que ce résultat soit erroné de £ est
654. Cas où il y a plusieurs variables. — A chaque épreuve n événements peuvent se produire et il s'en produit nécessairement un et un seul.
En [j. épreuves, le premier événement s'est produit w, fois, le deuxième m^ fois, ... le /i'™'" m„ fois (/«, -+- /«a + . . . + ni„ ^ (x).
Dans l'ignorance où l'on est des valeurs exactes /•,, /-j, ...,/•„ des probabilités de ces événements (/', -t- /.,+ ...+/•„ = i), on prend
pour mesure de ces quantités les rapports — -=p,, — = p.,,...,
On commet ainsi des erreurs inconnues £, = p,— r',, £n=/>., — i'., ....
^n^Pn — '\{'^, + ^-2^ •■■ +£« = 0).
Nous allons chercher la probabilité de ces erreurs en supposant que /»,. /n.:, .... m„ soient de très grands nombres.
Les événements de probabilités /•,, r:,, .... /■„ s'étant produits respectivement m,, m.,, . . ., /«nl'ois en [j. épreuves, les écarts correspondants (n° 644) sont définis par les égalités
CALCUL DES l'IiOBAIilLlTF.S. 473
et comme d'autre part, w,^ \j.p,, m.,-^ u./>.., . . ., n/„ u.p,„ ces égalités peuvent s'écrire
La probabilité pour que les erreurs aient pour valeurs £,, e^, . . ., c„ est donc égale à la probabilité pour que les écarts aient pour valeurs [A£,, [A£,, ..., [i£„. Cette probabilité est (n" 645)
ou
(v/2 7rfx)" 'v/r.rj.. . /•„
(v^)"~' \/'-, rj . . . /•„
Telle est la probabilité pour que les valeurs />,, p^, ..., p„ soient respectivement erronées de £,, t.>, .... £„.
Cette formule montre que les quantités — '-, —^, ■■ , —^ expriment les
probabilités avec une précision proportionnelle à la racine carrée du nombre des épreuves.
655. Dans la formule précédente, r,, r.,, . . . , r„ sont les probabilités exactes et inconnues; mais on peut, comme dans le cas d'une variable, les remplacer par les probabilités observées/?,, p., . . . /'„. La proba-
balte pour que les valeurs — . ~> • • • > — - soient erronées respectivement de £,,£.,..., £„ peut donc s'écrire
(\/27:)" ' \ipxl",...p„
656. Probabilité des événements futurs d'après les événements observés. — Les probabilités des événements futurs d'après les événements observés sont essentiellement différentes des probabilités déduites de données exactes, et il est indispensable de montrer sur un exemple simple la dissemblance des deux cas.
4'y4 I- liAC.IIF.I.IF.n.
Un événement a ponr prohabilité exacte/?; la |ir(il)al)iii(é |)()iir (jn'il se produise deux fois de suite est p-.
\}n événement s'est produit m l'ois en \x éprouvas, — = p; (|uelle est
la prohabilité pour (|ue l'événement se produise deux l'ois de suite?
Nous admellons que, dans l'ignorance où l'on est de la valeur exacte de la prohahililr de ri-véïiciiieiit, on doit adopter pour cette valeur le rapport du nombre des arrivées de l'événement au nombre total des épreuves. Nous avons vu ijuc. |)ar cette hypothèse, la moyenne de l'erreur est nulle.
La probabilité pour que l'événement se produise deux fois de suite est égale, d'après le principe des probabilités composées, au produit de la probabilité pour qu'il se produise à la première épreuve multipliée par la probabilité pour qu'il se produise à la seconde quand on sait qu'il s'est produit à la première.
La probabilité pour que l'événement se produise à la première
, m épreuve est —
La probabilité pour qu'il se produise à la seconde épreuve, s'étant
produit à la première, est -> puisque l'événement s'est alors produit
m -h I fois en [X -I- I épreuves.
La probabilité pour que l'événement se produise deux fois de suite est donc
fX p. H- 1 '
elle n'est pas égale à (—) •
Les probabilités relatives à une épreuve dépendent, d'après notre hypothèse, des faits qui se sont produits à toutes les épreuves antérieures.
Les probabilités des événements futurs, d'après les événements observés, sont des probabilités connexes et non des probabilités indépendantes.
657. Un événement s'est produit m fois en ij. épreuves; quelle est la probabilité pour que, en a' /tourelles épreuves, l'événement se produise m' fois?
CALr.lL DES PROBABILITÉS. 475
Si l'événement s'est produit m fois en ul épreuves, l'événement contraire s'est produit u. — m fois.
Supposons d'abord que l'événement considéré et l'événement contraire se produisent, dans les a' nouvelles épreuves, dans un ordre déterminé; que, par exemple, aux/»' premières épreuves, l'événement se produise et que l'événement contraire se produise aux n' = u.' — m' épreuves suivantes. La probabilité d'une telle éventualité est, d'après le raisonnement exposé au paragraphe précédent,
fi fJt + I fi + 2 fJt-h «i — I jjL H- «( fJL
OU
(m— i)! (« — I)! i.m-jj^'— 1)1 '
elle est indépendante de l'ordre considéré.
L'ordre étant indifférent, la probabilité demandée est égale, d'après le principe des probabilités totales, au produit de l'expression précédente par le nombre des permutations de u.' lettres dont m' sont semblables entre elles et n— a'— m' semblables entre elles.
La probabilité demandée est donc
( p. — I ) ! p.'\ ( «i -(- 7« ' — I ) ! ( rt + «' — 1 ) !
( «i — I ) ! ( « — I ) ! m' ! n' ! ( '^ -h ,ul' — i ) !
G.Ï8. Cas de grands nombres. — Un événement s'est produit
m fois en ul épreuves, soit — = p. Si, en a' nouvelles épreuves, révéra nement se produit \i.' p -\- x fois, on dit que V écart apparent est x.
Nous allons chercher la probabilité pour que l'écart apparent soit a;
en supposant que tx et a' soient de grands nombres.
La probabilité pour que la valeur — — p soit erronée de la quantité t est (n° 652)
yJ-Ki^-i /•(! — /■)
Dans les a' nouvelles épreuves l'événement dont la probabilité exacte (et inconnue) est r doit se produire u.' p + a- fois ou
'iy() !.. r.M iiri.iKu.
[>.'{/• -r- i) -+- v fois; la probabil il (■' iriine (elle éventualité est
iH's-i-.ii' ^"îH'/ii — Il
\/iT\/2f/'/-(i - /•;
La probabilité pour qno la valeiir/j soit erronée de la (iiiantilé i et pour (|ue l'écart apparent soit a.- est, d'après le principe des probabilités coniposéos,
|Jl£' ||i.'£-i-a-|'
V7:v2''(' — '■) \/r.\/ tix'r(i — r)
La probabilité pour que l'écart apparent soit .r s'oblient, d'après le prinei|)edc la |>r()babilité totale, en intégrant cette expression par rapport à £ enlrc x el -+- =o; cette probabilité est
V^t/ap'
:da.
On peut, (inaleineiit, renoplacer r par/? et i — /• par c/: la formule s'écrit alors
v/Tri/a//
: dx.
Telle est la probabilité pour que l'écart apparent soit x. Si l'événement avait exactement pour probabilité p, la probabilité pour que, en a' épreuves, il se produise [j-'p -+- x fois serait
dx.
\/n\/-^HJ>q
En comparant cette formule à la précédente, on voit que: L'ignorance où ron est des valeurs exactes des probabilités augmente les écarts dans le rapport de \ JJ- -t- u.' à \[k.
r.ALf.UL DES PROBABILITÉS. 4??
659. On peut obtenir la même formule en transformant en expression exponentielle l'expression faetorielle du n" (5.Ï7; il suffit de poser
m — np, n = (xq,
et de remarquer qu'on a, d'après le n"'643,
{[j.' I> + x)\ {[!.' q — x)\ ^-r: \ji^ pq p\>-i'+-^ qV-'i-^-
On obtient alors, pour la probabilité de l'écart apparent œ.
()G0. Cas où il y a plusieurs variables. — Nous nous plaçons dans les conditions exposées au n° 654.
Nous supposons que pi épreuves aient été faites et que les n événements possibles se soient produits respectivement ln^, in^, ... m„fois, ces quantités m étant de très grands nombres. On pose
/H, /"■. nt„
Si, en u.' nouvelles épreuves (u.' étant un très grand nombre du même ordre que \i~), le premier événement se produit [a'/j, -i- :r^ fois, le deuxième événement uJ p., + x., (ois, ..., le n'^'"" événement u-'p„ + !fn fois, on dit que les écarts apparents sont x^,x.^, . . . , .r„, (.r, -4-.r,-i- ... + x„ = o).
Nous allons calculer la probabilité pour que les écarts apparents soient x,, a\ r„.
La probabilité pour (|uc les valeurs/),, p., p,, soient respectivement erronées de £,, i.,, ... i„ est (n" 6;")4)
(v/ïî)""' \Jri /'s . . . /•„
478 I.. nAr.iiF.UER.
r\, f\, ... , /•„ désignant comme précédemment les probabilités exactes el inconnues des divers événements.
L'écart apparent étant x, pour le premier événement, cet événement s'est produit a'/), 4- a-, fois en ja' épreuves ou jj(.'(r, + £,) -i- x^ fois ou
fois, et, comme cet événement a pour probabilité réelle /■, , l'écart réel est fji'e, -*- X,.
L'écart réel pour le second événement qui a pour probabilité réelle /•j est de même jjl'£2+ X2, etc.
La probabilité de tels écarts est (n" 645)
^-Wl -. -^ TT—^--^ TT J
(y/aTTp.')" '\//-,r, ... /„
En multipliant cette quantité par la probabilité des erreurs t et en
intégrant le produit pour toutes les valeurs de î,, i„ entre — :c et
-H 3D, on obtient la probabilité pour que les écarts apparents soient .r , .r„; cette probabilité est donc
(vV)"-'
(v/aTT/J.')" '(\/2tc)" V' ''1 ''s- ■• ''«V^''! '■••••■ '■/,
-uyi:
Le premier crochet peut s'écrire
2(fZ-i-/J.
OU
;^!ï77il7)[^^-^')^'--^'i^--^
En appliquant la même transformation aux autres crochets, l'exprès-
CALCUL DES PROBABILITÉS. /\rc)
sioii de la prohabilité devient
SjJ.'-
x/ / •••/ ^^*-î= / /— V'-' - dsids^...ds„,.
Pour obtenir la valeur de l'intégrale, posons
elle devient
/ / •••/ t i~-\"-U I >\"-i / dXtdl,...d}.„,.
et, comme la somme des X est nulle, cette intégrale a pour valeur un (n°647).
La probabilité pour que les écarts apparents soient a;,, a-., . . . , x„ est donc
661. Nous pouvons, comme précédemment, remplacer dans cette formule les probabilités exactes et inconnues /•, , r\, ...,/■„ par les probabilités observées p,,p., ...,p„. La probabilité pour que les écarts apparents aient pour valeurs a;^, a;.,, . . . , a;„ est donc
Si les probabilités avaient exactement pour valeurs /j,, p.,, ..., p„,
'|S(> !.. It.\( 111 I.IKU.
la prol)ai)ilit('> dos érarls .v,, x.,, .. ., ./„, on a' ("prcuvos, sérail
La comparaison des deux formules montre que l'ignorance où l'on est des râleurs exactes des probahilitôs augmente les écarts dans le rapport de \j\>- ■+- \t-' à y a-
(i()2. En a épreuves^ l'événement A, s est produit to, /o«, V événement Aï, m^ fois, . . . , l'événement A„, w„ /ow. ij.' nouvelles épreuves devant avoir lieu, en désignant par m', , /n '.,... . m'„ 1rs nombres des arrivées des événements A,, A., . . . , A„, quelle est la prob(dnlité pour que
ail une valeur donnée s.
fjL et u.' son! de très grands nombres; a,, a., x„ sont des coefficients donnés qui peuvent désigner, par exemple, les pertes possibles d'un joueur à chaque épreuve; s désigne alors la perte totale dans Tensemblc dos a' nouvelles épreuves.
Posons comme précédemment
nin
— Pa-
Supposons que les événements A,, Ao, . . . . A„ aient pour probabilités (/>,+ 3,), (yo, -h £.), ...,(/)„-+-£„); la probabilité de cette éventualité est (n" 654)
(v/aTr)""' \\px + ii){l>-' + ii)-- .(/'« + £„)
Dans cette formule, /), -t- £,,/)j+ £^, ... peuvent être remplacés par/>,, ^2
Ces valeurs (/^ -f- s, ), . . . ( p„ -I- £„) donnent pour la probabilité de de la quantité s (n" 287;
l» — M-'l i/'. + îi I x, + i/i. + Î5ia3 +...+ I /'„ + £«> a„i ;' 2|JL' ; 1 (/■, + £, I a; -1- 1 /), + £.! a? -I- ..-t-ifi„ + e„iai!] — |(p, + c, la, + ( />, + £, la, + ..+ i/i„ + £„ i a„ i- !
v/7Ty/2,u';[(/>, + £,)a? + (/J2-hc,)a^ -H...-f-(/>„-l-£„)3c,;] — [(/>,+£,) 3!, 4- (/J. -H îj a, -!-... + (/J„ + £,,)a„ ]-^;
CAI.f.ri, nES PRORAriUTÉS. 'jSl
On doit négliger les £ dans le dénominateur de cette expression et dans le dénominateur de l'exponentielle: il faut, au contraire, les conserver dans le numérateur de l'exponentielle, car ce numérateur peut s'écrire
et l'on voit sous cette forme que, les termes entre crochets étant du même ordre (de l'ordre de s/j"-'), aucune quantité ne peut être négligée. La probabilité des valeurs (/>, + £, ), . . ., {p„ ■+- £„) et s est, d'après le principe des probabilités composées, égale au produit des deux dernières expressions, et la probabilité cherchée est, en vertu du principe des probabilités totales,
/" r" r'iJ^')" c ''' ''' ''"
i i — ij.' (!;), + £, la, +. .-f I /!„ •+- î„ I a„ 1 1-
X (1^1 f^/^i ■ ■ cU„-i.
\fT.y:ili.'][PiCf.]-\-piV.\-T- . . . -^p^y.l'] — [/),a,-t-/>5 0!, + . . .-)-/>„ a,,]- [
On doit dans cette formule remplacer £„ par — (î, -H £o +. . . ^- £„ ,). Lors(ju'il n'y a qu'une variable t, l'expression se réduit à
-»\/î:V'2/'i/^i ^fr^^'il'-' PiPii^t — a.>)-
dt;
elle s'intègre facilement et devient
1»— H.'(a,/)i + a,/).il'
u-i-u.- 2|j.'/.,p,ia,— a,)'— -^
Dans le cas où le nombre des variables est quelconque, les intégrations sont pénibles; il est à la l'ois plus simple et plus élégant de résoudre le problème en faisant appel à la théorie des probabilités connexes.
Posons
s^[t.' p^y-x-h ^' riv-i-r^. . . + (/'/)„ a„ 4-^-;
'|82 !.. lîACIIF.I.IEU.
.r est ['écart. I.o ]ir()l)lt'me considiTi' revient à clierclier la probahilitide cet écail.
Supposons (iirim ioiiciir II perde, à chaqueparlic, une sonfime égale à l'accroissonient de l'écart à l'épreuve correspondante ; supposons que les [x' nouvelles épreuves soient eirectuées et qu'elles aient donné
m\, m, ///,, pour les nombres des arrivées des événements A,,
Ao A ,. L'écart x est alors connu, ol il a pour valeur
X — a, m\ + «5 ml -f- . . . + ot„ /«,', — fji' ( st, /', -+- a. /'s -!-... + «,, /'« )•
Si une nouvelle épreuve a lieu, l'événenient A, s'étant produit
w, + m', fois en [ji.+ a' épreuves a probabilité — p^ de se produire,
et alors l'écart augmente de la quantité
Il y a de même probabilité — ^ r pour que l'écart augmente de
etc. L'espérance mathématique du joueur H pour une nouvelle épreuve est donc
OU
czim'i + !x.,m\ H-. . . -4- cii.„m'„ — /jL'(a| />, -+- 1Z2/J2 -1- • • ■ -^ <x,iPn)
[x-i-ix'
L'espérance mathématique du joueur H pour une nouvelle épreuve est égale au produit de sa perte actuelle par une fonction de u.'.
La fonction d'instabilité du jeu de H pour une nouvelle épreuve se calcule de même, et elle a pour expression, après suppression des quantités négligeables,
L'espérance du joueur 11 étant égale au produit de sa perte actuelle par une foiiclion de ul' et la fonction d'instabilité de son jeu étant constante, il suffit d'appliquer la formule démontrée au n" 314.
CAIJUIL DF.S PltOI!Ar!ILITi;S. 483
La probabilité pour que le joueur H perde la somme a; en y.' épreuves est exprimée par la formule
F étant l'intégrale de l'équation différentielle
d'où
F = 2f/'j [oe^/?, H- a^/), +. ..+ txlp„] — [«,/), + a,p. -i- . . . -h a„p„]-\^ ^ •
La probabilité de l'écart x est donc
tX-4- U.'
Si les probabilités des événements A,, Aj, . . . , A„ avaient pour valeurs exactes/?,, yjo, . . . , p„, la probabilité de l'écart x serait .
2 1J.' ; I a;;), + a.i/..,-i-...-Ha,i/)„| — |a,/', + o:,/>;4-,..+ a„/i„r' j
L'ignorance où l'on est des valeurs exactes des jtrohabililés augmente les écarts dans le rapport de \^. 4- a' à \ a.
CIIAPITUE xxin.
PHOUAHILITÉS Di:S CAUSES.
(i(io. Il l'sl ulilc lie l'aire coiiiprciulrr le sens aUrihué au mot cause dans le calcul des probabililés.
l II joueur a joué cii)(| parties: à chaque partie il avait égale probabilité de gagner ou de perdre un franc; finalement il a gagné en totalité un rraiic. A la troisième partie il avait nécessairement perdu un franc ou gagné un ou trois francs; ces trois alternatives sont dites les causes du fait observé qui est le gain total de un franc.
Lors(|u'on ignorait l'issue du jou, les causes avaient pour probabilité (I priori ô^ s ^t o' Lorsqu'on sait que le joueura gagné finalement un fianc, sans savoir quelle a été la suite de ses gains et de ses pertes, les probabilités des trois alternatives, c'esl-ii dire les probabilités des trois causes, se trouvent cliangées; on les nomme probabilités a />o^teriori.
(j(i4. Deux urnes A et B soiil d'appareuce identiques; la première renferme dix boules blanches et une boule noire, la seconde dix boules noires et une boule blanche; on désigne une des urnes au hasard; la probabilité de désigner l'urne A est -■
Supposons maintenant qu'avant de constater quelle urne on a designée on cxliMie une boule de celle-ci. Si la boule est blanche, il est très probabli> (jue l'urne désignée est A, et la probabilité pour qu'on
ait désigne l'urne A est jilns grande que ■
Les deux alternatives possibles sont la désignation de l'une ou de l'autre urne: elles sont dites les causes du fait observé, (jui es! la sortie d'une boule blanche.
CALCUI. DES l'IUiriMlllITliS. /(85
Lorsque taboulé n'était pas encore extraite, les deux causes avaient pour probabilités a priori — Lorsque la boule est extraite, ces probabilités, dites a posteriori, ne sont plus égales.
Nous allons maintenant établir la formule générale des probabilités des causes.
