Formule de Bayes. — Diverses causes E,, E, E^ ont pu

produire un événement observé. Les probabilités des causes, lorsque le résultat n'était pas encore connu (probabilités a priori), étaient m,,

^■2 TOa. L'événement se produit; la cause E., qu;nid on est cerlain

que c'est ellecjui agit, donne à l'événement la probabilité II,. Quelle est la probabilité pour que E, soit la cause de l'événement (probabilité a posteriori) ?

Soif r la probabilité eberchée; nous écrirons de deux manières dili'érentes la probabilité pour que le fait se produise et qu'il soit du à la cause considérée.

i" Il faut d'abord que la cause soit mise en jeu (probaiiilité cr,) et qu'elle produise l'événement (probabilité II,).

2" Il faut que l'événement se produise (probabilité

et que, s'étani produit, il soitdùà la cause désignée (probabilité. r). On a donc

d'où

ôTi n, ^ CT, n.> -1- . . . -1- GT/, n<.

Telle est l'crpression de la probabilité a posteriori.

666. \i\w urne contient^/ bmiles; les unes sont blanches, les autres noires; on ignore en quelle |)roportion. On tire a boules en remettant chaque fois la boule sortie. Il ne sort que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour (|ue l'urne renferme /• boules blanches ?

Soit ûi„ la probabilité a priori [)i)iir ([u"il \ ail // lilanches.

/|8() I,. r,\c.iiK,i.ii-.n.

S'il V a '/ l)laii' lii'>, la [d'iihabilité pour en cxlrairc [;. de suite est

D'après la rormule de Bayes, la probabililc (t posteriori ^owv (|u'il y ail /• boules blanches est

1^ / a\V- cî, t M- -4- (,), 2i^ H- . . . -h nî„ rtl^

Il faut connaître a priorité,, xs.,, ..., tn^ sur lesquels on peut faire plusieurs hypothèses.

Sn|)posoiis par exemple que toutes les compositions de l'urne soient a priori également vraisemblables; alors tous les rar sont égaux,

et la formule se réduit à

kv^

Si par exemple a = 4. ^' — 3, [jl = 2, la probabilité a posteriori est 0,3.

Supposons encore que l'urne soit remplie en tirant au hasard les couleurs blanche et noire avec égale probabilité pour chacune. La probabilité a priori pour que l'urne contienne n boules blanches est

n'.(a — rt ) 1 \ 2

Pour obtenir les probabilités a posteriori, il suffit de remplacer dans la formule générale les quantités rrr par cette valeur. Si, par exemple, a r= 4> ^' ^= 3, [JL = 2, la probabilité a posteriori est o,45.