Probabilités des causes dans les épreuves répétées
Un événement s'est produit m fois en a epreiwes (^identiques) ; quelle est la probabilité pour que ce fait ait pour cause une râleur y de la probabilité de l' événement ?
Soit îô (^y ) ily la probabilité a priori (supposée coimue^ pour que la probabilité de l'événement ait pour valeur/.
Si la cause qui produit l'effet observé, c'estrà dire l'arrivée des m événements, est la valeur j, elle donne à l'arrivée de ces m événements la prohabilité
en posant m -h n = a.
La probabilité pour que le fait considéré ait pour cause une probabilité de l'événement comprise entre j et v + c/x est, d'après le théorème de Bayes,
r"'{i — y)" Tn{y)ily
j""(i— j)"5T(j)rfy
Les limites de l'intégration sont nécessairement comprises entre zéro et un.
La dernière formule exprime la probabilité a posteriori pour que l'événement considéré ait pour probabilité^.
668. Expression finale de la probabilité. — Si le nombre u. des épreuves était infini, l'événement considéré et l'événement contraire se produiraient proportionnellement à leur probabilité, de sorte que
la fraction ~ exprimerait exactement la probabilité de l'événement
considère.
Cette valeur correspond nécessairement à la plus grande probabilité a posteriori. Cette plus grande probabilité s'obtient en annulant la dérivée par rapport a y du numérateur de l'expression générale du paragraphe précédent, c'est-à-dire en posant
Si m et n sont infiniment grands, la formule devient
■^ m -+- Il
669. Étude d'un cas particulier. — Lorsque le nombre a des épreuves n'est pas très grand, à chaque hvpothèse faite sur la fonction tu correspond une valeur différente pour la probabilité a posteriori.
'|SS I,. lîAnnKi.iF.R.
Si l'un n'a aiicuin' idée a p/ion >iuv les prciljabililcs, riiyitullit'sf la plus simple consiste à poser ts — i, ce qui revient à considérer comme également vraisemblables lonli's les valeurs de la probabilité entre zéro et un.
Alors le dénoniinaleur île la probabilité a posteriori (\\" ()()7) est l'inléurale eulérienne
f y'"(i-.y)"dy=^
ni
La probabitité cherchée a donc pour valeur
G70. La valeur la plus probable de j est La valeur niovenne de y est
'i^!L±f±lllr-(i-y)"<v:
671. Expression pénultième de la probabilité. Lorsque le nombre des épreuves est très grand, les probabilités a posteriori sont, comme nous l'avons vu (n" 652), indépendantes de toute hypothèse sur les probabilités a priori.
La formule relative à ce cas, obtenue indépendamment de la théorie des probabilités des causes, peut être également démontrée en faisant appel à cette théorie en supposant que le nombre des épreuves soit très grand.
L'événement s'étant produit m fois en jj. épreuves, sa probabilité est
voisine, lorsque a est très grand, de — =/>; désignons cette probabilité
Si l'on développe cï(j)-- î7î(/j-H£) par la formule de Taylor, cette fonction se réduit, puisque £ est infiniment petit, à sa partie constante, de sorte que la probabilité a posteriori est la même que si l'on avait supposé a priori rrr égal à un.
CALCUL DF.S PROBABILITES.
La probabilité a posteriori d' une valeur y est donc
{m -h II -1- 1 ) !
VHi)
r"'(i —y)" dv
En remplaçant V par/? -h i, on obtient la probabilité d'une valeiii
( m -r- Il -\- \)\
■ l)"'ll"
Le premier crochet a pour valeur asvmptoti(|ue
III '\- Il + \
\l'iT.{in -+- /O/"/
Désignant par a le second crochet, on a
log« = m log:( I +
«log(.-i)
£- / /« Il
2 \p- 7^ en négligeant les termes en a', on a donc
et l'expression de la probabilité devient, en remplaçant m [)ar ^p et « par u. q,
dE.
Nous retrouvons la même formule que précédemmeiil.
672. Étude du cas généraL — Supposons maintenant que gï(j; soit quelconque, mais développable en série entière
et que les valeurs de j s'étendent depuis zéro jusqu'à un ; alors le B. — I. 62
/|(-)o !.. I!.\»;iii;i.ii:k.
clciioiniiialeur de roxprcvssioii générale de la prubabililé a posteriori
(n» GG7),
se compose d'une série d'intégrales euléricnnes.
Si l'on désigne par S la somme de cette série, la probabilité a posteriori est
