Soit, par exemple
La probabilité de la valeur/ est
y"'{^—y)"^(y)dy )"'+°'(i— y)"c?/ f /"'(i-y)"ro(j)<v- / y"'^«(>— j)"rf/
(m + ra H- « + 1 )!/'"+«( I — >')" dy ^ ( wi -h a ) 1 « !
La valeur la plus probable dej est
m + en
La valeur moyenne est
'«i -f- oc + I
tu
Ces valeurs sont très voisines de ^—7;^ dès que a est petit auprès de m et de n.
674. Cas où il y a plusieurs variables. .4 chaque épreuve (toutes les épreuves étant identiques), n événements peuvent se produire et il s en produit nècesscur (nient un et un seul.
En IX épreuves, le premier événement s' est produit m, fois; le second, m., fois; ...: le n'""% m„ fois (m, -^ m..-h ... -h m„ ^ [a). Quelle est la probabilité pour que ce fait ait pour cause les valeurs J, , Js • • ■ • 1 yn <^^^^ probabilités des événements?
(On doit nécessairement avoir y, + y^ 4-... + r„= i.)
En d'autres termes, quelle est la probabilité a posteriori pour que les événements considérés aient respectivement pour probabilités r,, Vî, ..., v„.
Soit ny(v, , y., ..., j„,)i^J, dy.,...dY„-<. la probabilité a priori (supposée connue) pour que les probabilités des événements soient y,, j2' •••> Jn-i. c'est-à-dire pour que la probabilité du premier soit comprise entre y, et y, +dy^, celle du second entre j'o et >% -i-f/y., ....
Si le fait observé a eu pour cause les valeurs y,, /j, v„i, celles-ci
donnent à l'événement observé la probabilité (n° 664)
/«,!/«,!... /»„!''•-''-'• •■•^"-'^'~-^' .12-- ■ •-.>«-!) "' et la probabilité demandée est, d'après le tbéorème de Bayes,
rT''.r'"^- ■■■y"'"T'(' — ji — .n'"- ■• — .T/.-i)"'"ro(.yi-.y2 r«-i)^.yit^y..... riy,,.,
/ / ••• //"''jo''-- • j'«-T'(' — ji — 72 — •■ • — j«-i)"'"ro( 1 i.ji 7/.-i)«'ji'^0'2-- ■ «[>■"-
L'intégration s'étend à toutes les valeurs de y,, jj, ...,y„, (elles que
si l'on suppose que la fonction xs s'étend |à ce même système de valeurs.
675. Expression finale des probabilités. — Si le nombre a des épreuves était infini, les événements se produiraient proportionnellement à leur probabilité, et il n'y aurait à considérer que le seul système de valeurs
Ces valeurs correspondent nécessairenieni ii la plus lirande probabilité a posteriori. Cette plus grande probabilité s'obtient en annulant les dérivées par rapport aux diverses variables du numérateur de l'expression générale du paragraphe précédent. Oi-, la dérivée par rap-
'192 1. lîM'.lllI IKIi.
pin'l à v, |»('iil s'i'criro
jï'.-'r:'- . . . v',;-T' ( 1 - J. - /i - . . ■ - v„, )"•"-'
X [»i,(i —>•,—/. — ...—.v„|) — .)-,/»„]ro-)-.>'i(i -yi--jî — . .— j„-i)-r— ;
si on l'ép;aIo à zéro en lU'gligeaiK les termes qui ne contiennent pas en t'actour les ([uantités m , m,„ on obtient
"'iii — 7i -.'î— ■ • —yn-\)—y\"tu-o
et n — 2 équations analogues, i.a solution de ce système est nécessairement
/«, nii III,,
676. Étude d'un cas particulier. - Si [x n'est pas très grand, à chaque hjpothèse faite sur la l'onction ci correspond une valeur différente pour la prohabilité a posteriori.
Si l'on n'a aucune idée a priori sur les probabilités, riiypotbèse la plus simple consiste à poser 0 = 1. Alors le dénominateur de la probabilité a posteriori (n" 674) est l'intégrale
// ■ ■ -fyT'fT' ■ • ■/;;'-,'{ '-/i -72 -. • --/«-.r-f/ji dy, . . . r/j„„
qui est étendue à tous les systèmes de valeurs de v >.}'„ 1 ''''* que
Cette intégrale est du type de celles qui ont été déterminées par Dirichlel ; sa valeur est
Yi m,^ i)r(/«o+ 1) . . .T(m„^i-+- i)r(/»„+ 1) T(/ii^ -)- /«, + . . . H- /?i„-t- /) )
ou
m , l III .^l . . . in„ !
., //* I -H «/ 2 -+- . . . -4- in„ -+- H — 1 ) I La probabilité cherchée a donc pour valeur
x/ï",>T- ■ ■.C^,'(' - Ji -y,-...-yn-ô"'-dy,cly, . . . ,/j„.
CAI.CrL DES PROlUmLITF.S. '193
677. Expression pénultième de la probabilité. — Lorsque lo nombre des épreuves est très grand, les proliabilités a posteriori sont, comme nous l'avons vu (n" 654), indépendantes de toute hypothèse sur les probabilités apriori.
La formule relative à ce cas, obtenue indépendamment de la théorie des probabilités des causes, peut être égalemont démontrée en faisant appel à cette théorie, en supposant que le nombre des épreuves soit très grand.
Comme dans le cas d'une seule variable (n° 67 I), on verrait que supposer un grand nombre d'épreuves revient à admettre que 13 = 1. En transformant ensuite la formule du paragraphe précédent par le même procédé que dans le cas d'une variable, on serait conduit à la formule du n°655.
678. Étude du cas général. — Supposons maintenant que cj(j,, y.,, ...,)'„,) soit quelconque, mais développable en série entière
et que la fonction u s'étende à tous les systèmes de valeurs de r,, y., ..../„-i tels que
le dénominateur de l'expression générale de la probabilité a posteriori
X ^ (7i- y-- yn-\ ) ày, dy, . . . f/r„,
se composera alors d'une somme d'intégrales de Dirichlet et pourra ainsi être obtenu sous forme d'un développement en série; en désignant par S cette série, l'expression de la probabilité sera
Î^JT'/'"'-". »■«",'(• -Ji-.v^---- '•-,--i)"'"57(.. •,.«., ,)■„ ,)(/y,r/y,...r/y„,.
679. Probabilité des événements futurs d'après les événements observés. - Un événement s'est produit m fois en u. épreuves ;
494 '■• n.\niF,i,iF.R.
quelle est la probahilité pour que^ en u.' nouvelles épreuves, il se produise suivant une toi donnée ?
Toutes les épreuves passées ou futures sont supposées identiques.
SoitX (y) la probabilité a posteriori pour que l'événement considéré ait pour probabilité )'.
Soil ■]/ (r, ul) la |)robabilifé pour que l'événement so produise suivant la loi donnée en ij. nouvelles épreuves quand la probahililé de l'événement est j.
La probabilité pour qu'on obtienne la valeur y et pour que l'événement se produise suivant la loi donnée est, en vertu du principe des probabilités composées,
D'après le principe de la ])robabilité totale, la probabilité cherchée est la somme des quantités analogues pour les valeurs de j qui satisfont à la loi donnée; cette probabilité est exprimée par l'intégrale
si l'on suppose que X est une fonction continue.
On peut aussi écrire, en remplaçant X par sa valeur (n" 667),
/.■>•'"(' — y}" ^(.j)'^{.y' i'')dy
Jr"-{i-y)"rn{Y)r/y
L'intégrale du numérateur est relative aux valeurs de y que rendent possibles la forme de la fonction m et la loi exprimée par la fonction '|i.
L'intégrale du dénominateur s'étend aux valeurs de y que rend possibles la forme de la fonction cr; on peut toujours lui donner pour limites zéro et un, mais en changeant la forme analytique de l'élément.
Lorsque cî = I, l'expression de la probabilité se réduit à
Yj[] — J J"'(ï ~ y y ^{y, i^')^'y-
CALCUL DES PROBABTLITÉS. 495
fiSO. Un événement s'est produit m fois en a épreuves; quelle est la probabilité pour qu'il se produise m' fois en p.' nouvelles épreuves ?
Nous nous plaçons dans l'hypothèse où es - i. On a, dans le cas considéré,
en posant li.' = m' -\- n'.
La probabilité cherchée est donc
OU
m' \ n'\ {m + m' + n -\- II' -\- \)\
La probabilité pour que l'événement se produise si l'on fait une seule
épreuve est ; elle est très voisine de — quand m et n sont de
grands nombres.
68 1 . Un événement s'est produit m fois en ik épreuves ; quelle est la valeur moyenne du nombre des arrivées de l'événement en [x' nouvelles épreuves ?
Si la probabilité a posteriori de l'événement a pour valeur y, la valeur moyenne est ;j.'v. La valeur moyenne cherchée est donc, d'après les principes des probabilités composées et totales,
{m -+- n -hi) m
rt + i)! r' , , , , u.'(wH-i) u.'(m-\-\) ■ ; / y'" I - V V Ydy z= ^tl L - i±J L.
Lorsque u. est un grand nombre, la valeur moyenne est très voisine de
La valeur la plus probable du nombre des arrivées de l'événement
en n! nouvelles épreuves est également u! —quand [x est un grand
nombre. On le démontre en cherchant la plus grande valeur que peut obtenir l'expi'ession finale du n° 680.
'|()() 1 . I.AClIKIII'.r,.
i\H'2. Lvvcneinc/il A s'csl produit m J ois en [j. rprctivcs et l événement contraire B, « =: a — m fois. Quelle est la probabilité pour que, si Von fait de nouvelles /'preuves., i événement A se produise k fois avant que i événement B se produise h fois ?
La question dont il s'aj^it n'est autre que Xa problème des partis dans le cas où les probaliiiilés nv sont pas exactement connues.
(ihei'chons la probaliililé pour que le l'ail doni il s'agit se piddnise en [x' épreuves cxactenienl.
Si le fait se réalise en u.' épreuves exactement, c'est que, dans les ;j. — I premières épreuves, l'événement s'est produit k — i fois et que de plus il s'est produit à la fx'*'"" épreuve.
La probabilité pour qne. dans les pi' — i premières épreuves, l'événement A se produise /* — i fois et l'événement 15, u.' k fois, est (n" ()80)
(w. + » + !)! (|m'— i)! (/» + A' — !)!(/< + pt'-/.)!
i/événemeni A doit ensuite se produire à la [j.''""" épreuve s'élant produit m + X- - i fois en m + « + [^' — i épreuves. La probabilité de cette éventualité est
La probabilité pour (|ue le fait considéré se produise exactement à la ti.''"™'" nouvelle éprenve est égale au produit des deux probabilités précédentes; elle a donc pour valeur
( /» 4- /( -(- I ) ! (|jl' — I ) ! ( /» H- /,- ) 1 ( /J H- p.' — A) !
m ! n ! (A - i) ! (fx'— A)! {m + n + ij.' + i)\
La probabilité pour que l'événement A se produise /r fois avant que l'événement B se produise /i fois s'obtient en sommant les quantités analogues pour toutes les valeurs entières de [x depuis k jusqu'à k + h~ I .
()8."5. Un événement s' est produit m fois en \j. ^^ m + n épreuves ; quelle est la valeur moyerme du nombre des nouvelles épreuves qu'il faut tenter pour que l' événement se produise k fois de suite ?
CALCUL DES PKOIiAr.ll.lTKS. '197
La question dunl il s'agit n'est anlii- t\uv io prohiémc des rhissitcs successives dans le cas on les probabilités ne sont pas exaclcintMil connues.
La probabilité pour que l'événement considéré ail, a posteriori, pour probabilité y est, d'après la formule du n" ()0'),
Si la probabilité est v, la valeur moyenni' est ( n" 122)
La valeur moAenne cherchée est donc, d'après les principes des probabilités composées et totales,
Si m est inférieur ii k, la valeur moyenne est infinie. Si m est égal ou supérieur à /, l'intégrale est la difterence de deux intégrales eulériennes ; la valeur moyenne est alors
n — k)\ (^in ~ n\\\
684. Cas où il s'agit de grands nombres. — Reprenons le problème général étudié précédemment (n° G80) et supposons que m, /i, m', n' soient de grands nombres ; posons
m II
d'où
La valeur moyenne et la valeur la plus probable de m' sont a'/>.
Posons donc
rn':=\t!p + x. Il' ^^ ^' q — x.
X est V écart apparent.
Remplaçons, dans la formule finale du n" (580, les quantités rn,u, B. - 1. 63
4<)8 I,. BACIIELIEU.
m', ri' \)i\r Unir valeur cii rdiictidii de iJ., u.', p, q, x, et (ransforninns rox|)n'ssi(iii factorit'lli' en i-xpoiieiilielle; cette rormnlc ilcvit'iil alors
\/n\/:>.lx'pq
/"fZ/e «/ /a prohabilité de l'écart x.
Nous nous sommes placés dans riiv|)othèse où nî = i, mais, le nomhrc a étant très grand, le résultat est indépendant de cette hypolliése, il exprime nne loi pénultienne.
xNoiis l'avons d'ailleurs obtenu précédemment (n° 058) sans avoir recours à la théorie des probabilités des causes.
68."). Cas d'une loi initiale quelconque. — Si le nombre ]x n'est pas très grand et si la l'onction îtt est quelconque, la probabilité pour que, en \l' nouvelles épreuves, l'événement se produise m l'ois quand il s'est produit m fois en a épreuves est (n" 679)
/!" ", / v"'+"''(i — v)"+"'nT( y) (Iy ,
si l'on suppose que la fonction nj s'étend à toutes les valeurs dev de zéro à un.
Si de plus fn est développable en série entière, chacune des intégrales est decomposable en une suite d'intégrales eulériennes et la probabilité est alors exprimée par le quotient de deux séries.
086. Importance des formules pénultièmes. — Les résultats les plus ini[)orlanls de la théorie (|ue nous venons d'exposer sont exprimés par des lois finales et pénultièmes ; il est donc utile de connaître les conditions a priori que supposent ces lois.
Soit cj (y) la probabilité a priori pour qu'un certain événement ait pour probabilité V.
CAi.cui. nr.s pnonAnii.iTÉs. '(()r)
La quanfifé crfv) doit nécessairement cire [)Osifive et telle que la somme de ses valeurs pour toutes les valeurs possibles de y soit un.
Si nr (j) est une fonction continue ne s'annulant pas et ne devenant pas infinie entre zéro et un, les formules finales et pénultièmes sont légitimes, pourvu que toutes les alternatives possibles se soient produites un grand nombre de fois.
Les formules pénultièmes sont donc applicables quand la loi des probabilités a priori osl quelconque; mais en quelque sorte naturelle, et il faut, pour les mettre en défaut, former de toutes pièces des lois particulières qui ne présentent aucun intérêt au pointde vue du calcul des probabilités.
Si l'on ne connaît rien sur la probabilité a priori d'un événenienl, la fonction cï (v) peut être quelconque; mais elle ne peut pour aucune valeur de r devenir négative et zéro est son minimum absolu ; la supposer nulle pour un intervalle fini dey est se placer dans un cas infiniment particulier ; c'est précisément ce cas qui mettrait en défaut les formules finales si celles-ci conduisaient à une valeur de y qui devrait être nulle a priori.
L'emploi des formules finales et pénultièmes est donc légitime.
687. Il n'est peut-être pas inutile de donner un exemple qui montre la décroissance de l'influence des hypothèses initiales lorsque le nombre des épreuves augmente.
Supposons qu'on ait fait 2m épreuves et que l'événement se soit produit rn fois.
Dans l'hypothèse où îtt = i, la probabilité pour que l'événement se
produise à l'épreuve suivante est -•
Considérons une autre hypothèse et posonspar exemple cj(i)= i ij''". Lorsqu'on supposait que cj avait pour valeur un, la probabilité de
l'événement avait a priori autant de chances d'être supérieure à -
que d'être inférieure à -•
Dans l'hypothèse où rrr (v) = 1 1 v'", il n'v n, a priori, (|u'une chance sur deux mille pour que la probabilité de l'événement soit inférieure
5oo I. r.AriiF.i.iF.n.
Le socoikI l'IIS, pour ('Iri' (n''> ilillV'rciil ilu |»i'(Miiii'r. l'diHluit ccpen- (l;iiil à (les cllitrres li'rs voisins si m est un ^riind niinilui".
La l'oriniilf ci-dessus (n" GS.')) permet de calculer sans difficuUé la probabilité pour (|ne l'événement se produise ii l'épreuve suivante,
