I.. itAriiir.i.iKii

ini ne tli'vrait prendre dans la somme précédente (|iie jj. — a; + i termes.

S'.). Si m el // soni inlinis, la probahililé /> pour oi)lenir une boule hianohe est constante à ehaciue tirage, do môme que la probabilité q pour obtenir une boule noire. On a

m -\- Il m -(- n

et l'expression de la probabilité pour obtenir x boules blanches avant 1' boules noires devient

On aurait encore obtenu ce résultat en remar(|nant ([ue, dans l'hypothèse où m et n sont infinis, le problème proposé n'est autre que celui des partis (n° 58).

90. m et /2 étant finis, si l'on pose a^ = /n 61^= n, on obtient la probabilité pour que la totalité des boules blanches soit extraite avant la totalité des boules noires. Cette probabilité est

m\ n\ r m m (ni -{- i) m{ni + \) ( m -t- i)

7 IH 1 ^ ■' H !^ 'Ai ■+-...

m(m -ir i). . .{ni -\- n — 2)1

formule numériquement équivalente à celle du n° 78.

9 1 . Les conditions élant les mêmes que pour les problêmes précédents^ quelle est la valeur moyenne du nombre des tirages qu'il faut effectuer pour obtenir k boules blanches?

Désignant par ;/;^, la valeur moyenne quand z boules blanches doivent encore sortir pour compléter les k boules demandées etquand il y a dans l'urne x boules blanches et jk boules noires, on a

■ "j-i,^-i,vH — z — I — TT"--*..'-!'

équation qui est une conséquence des principes des probabilités composées et totales. On a de plus

X est évidemment supérieur à z.

Pour intégrer cette équation, on opère comme précédemment (n° 80), en posant 0 = 1, elle devient

posant d'abord JK = i, puis j = 2, etc., on aperçoit bientôt la formule

L'équation générale devient alors, en y posant - = 2 et en remplaçant «(,j;.r-i par sa valeur,

comparant cette équation avec (1) on en déduit et plus généralement

la valeur moyenne cherchée est donc

92. Une urne contient m boules blanches et n houles noires^ on les extrait une à une jusqu'à ce qu il reste dans l'urne autant de boules noi res que de boules blanches. Quelle est la probabilité pour que p. tirages soient nécessaires?

Supposons que m soit plus grand qne //, il est évident que l'égalité entre le nombre des boules blanches et noires ne pourra se produire avant le (m — «)'™'' tirage et qu'elle peut ensuite avoir lieu pour le (m — 72 + 2)''''"*' tirage, pour le (//; — « -h /| )'*■""' tirage, etc. La quantité donnée [x doit donc dillerer de m — n par un nombre pair. La valeur

GH I.. llACIlKl.rKK.

iiiaxiiiia (iiie |»i'iil premlro [x osl m -h n qui correspond ;i la sorlic de fouJes les boiilos.

Si l'éiialiti' ('litre le nombre dos boules blanches e( noires se produit

au ix"""" tirage, c est que, dans les [jl premiers tirages, il est sorti i-

boules blanches et ' houles noires.

La proiianilite pour (|ue, en u. tirages, il sorte - — boules

hlaïu'iies et - — ' '~^ ' l>oules noires a pour exjtression (n" 69)

fjL !/«!«!( ni -1- « — /j. ) 1

a -h m — Il , u -T- n — m , m -h n — a m -h n — u.

Cette probabilité n'est pas celle que nous cherchons, elle exprime la probabilité pour qu'il y ait égalité du nombre des boules au a"""' tirage, alors (|ue nous devons déterminer la probabilité pour (|ue l'égalité ait lieu pour la première l'ois au tj."'""' tirage.

La succession des sorties des boules aux u. premiers tirages, si l'égalité a lieu au a'"'"" tout en ayant pu avoir lieu avant, peut se représenter par la suite

B,L,B3BJ.,...Bp.,

li, indi(|ue qu'au premier tirage il est sorti une boule blanche; Lj indique. (]u'au second tirage, il est sorti une noire, etc. Il y a

lettres Bot ^"^"~"' lettres L.

Dire que l'égalité entre le nombre des boules blanches et noires s'est produite pour la première l'tiis au jj.''"'"'' tirage revient à dire que, en lisant la suite précédente de droite à gauche, le nombre des lettres B a été, pendant toute la lecture, supérieur au nombre des lettres L.

Nous savons (n" 83) que le nombre des suites qui satisfont à cette condition est égal au nombre total des suites multiplié par

La probabilité pour que l'égalité ait lieu pour la première fois au u."'""^ tirage est donc égale au produit de la probabilité pour qu'elle ait lieu

CALCl'L IlES PUOliAini.ITÉS. (k)

d'une façon quelconque au u.''""^ tirage par la quantité

F- La probabilité cherchée estilonc

m — n fi ! '» ! « ! ( ni T- ii — ,a ) !

u, a -^ m — /i , IL -^ Il — m , ni -i- /( — rji ni — n — ,a , , ^ ,

La valeur moyenne du nombre des tirages qu'il faut effectuer pour obtenir l'égalité du nombre des boules blanches et noires dans l'iirmî est

ml ni i m — /O "V i^ ' ■ ^" — /' — /-'- ) î

( /n -H « ) ! .^J |JL ■

ll = m — n "

Le 2 s'étend aux valeurs m — n, jn — n -\- i, m ~ n -^ '\, ...,m + n de u..

93. Une urne contient n houles marquées i, -2, . . ., n; on les tire une à une en remettant après chaque tirage la boule sortie; quelle est la probabilité pour que h numéros désignés sortent au moins une fois en a tirages ?

Le nombre des cas possibles est celui des arrangements avec répétition de n objets u. à a, soif n^.

Le nombre des arrangements qui contiennent un numéro désigné est

nV—(n — i)!^,

il est éâral, en effet, an nombre total des arrangements, diminué tin nombre des arrangements qui ne contiennent pas le numéro désigné, c'est-à-dire diminué de {n — i)i^.

Le nombre des arrangements qui contiennent deux numéros désignés s'obtiendra en reirancbant de la valeur de la formule précédente le nombre des arrangements qui contiennent le premier numéro et qui ne contiennent pas le second; ce nombre s'obtient en remplaçant dans la formule précédente n par « — i ; il est

(« — iy — {n —2)!^.

•jo !.. iiAi.miir.u.

I.o nombre total des arranfîomeiits (lui coiilii-imenl trois numéros dosijinés s'ohlit'mlra en retranchant (!<■ la valcnr de celte formule le nombre des arranj^ements qui contiennent les deux premiers numéros mais non le troisième. Ce nombre s'olilienl en remplaçant dans la dernière formule // par « — i, il est

( „ , )ii -I- 2 ( « — a )!^ -f ( n — 3 )i*.

Le nombre des arrangements qui contiennent trois numéros désignés est donc

Plus généralement, le nombre des arrangements qui contiennent // nnniéros désignés est

La probabilité demandée s'obtient en divisant cette quantité par n^, elle a pour valeur

En particulier, si h = n, on obtient la probabilité pour que tous les numéros sortent en a tirages