Si u et « sont grands, on a approximativement
et par suite, la probabilité pour que /i numéros sortent en u. tirages peut s'écrire
I — Il e H e
CALCUL DES PROBABILITES. ni
les exponentielles décroissant très rapidement, on pourra généralement se borner aux premiers termes.
La probahililé pour que les n numéros sortent en a tirages a pour valeur approchée
95. Une urne contient n boules marquées i , 2, 3, . . ., n;onles tire une à une en remettant après chaque tirage la boule sortie ; quelle est la valeur moyenne du nombre des tirages qu'il faudra effectuer pour que toutes les boules soient sorties?
Soit J/^ le nombre moyen des tirages qui seront à effectuer lorsque X numéros ne seront pas encore sortis, on peut écrire
En effet, le nombre moyen des tirages se composera d'abord du tirage prochain, puis deux cas seront possibles : ou la boule extraite sera une des x boules non encore sorties et le nombre moyen deviendra Uj.-t, ou elle sera une des boules déjà sorties et le nombre moven conservera la valeur u^..
La première éventualité avant pour probabilité - et la seconde pour
probabilité -^ l'équation ci-dessus est l'expression des principes
des probabilités composées et totales.
On peut écrire cette équation
on en déduit
lln-1 — l'n-3 =
n2 I.. IIACIIKI.IKU.
Km atlilitioiiiijiiit ces cj^alilés et cm remarquanl que //„ = o, on ol)ti('nt la valt'ui' iiimcniii' clici'cln'c
ou
rt — 2
