III I

i)S. Jeu de la rencontre. — Une urne contient n boules numérotées de un à n ; on les tire successivement Jusqu'à ce que l'urne soit vide. Il V a rencontre si au k'''"' tirage la boule tirée porte le numéro k. Quelle est la prohabilité pour qu'il n'y ait pas une seule rencontre?

Le nombre total des cas possibles est ni. Le nombre des cas pour lesquels une boule (lésii;née n'est pas à son rang est

car on doit l'obtenir en retranchant du nomi>ro total des cas possibles le nombre des cas correspondant à la sortie du numéro désigné.

Pour obtenir le nombre des cas pour lesquels deux boules désignées ne sont pas à leur rang, on doit retrancher de l'expression (i) le nombre des cas correspondant à la sortie à son rang de la seconde boule, c'est-à-dire, retrancher de (i) l'expression analogue où l'on remplacerait n par n — i

Le nombre des cas pour lesquels deux boules désignées ne sont ni l'une ni l'autre à leur rang est donc

( 2 ) ni — 2 ( /( — I ) ! -1- ( n — 2 ) 1 .

Le nombre des cas pour lesquels trois boules désignées ne sont pas

à leur rang s'obtient en retranchant de l'expression (2) l'expression

analogue où l'on remplacerait n par n — i, le nombre cherché est

donc

«! — 2(/j — i)!-H(/; — 2)! — [(« — I)! — 2(« — 2)!-i-(« — 3)!] ou

En continuant le même raisonnement, on voit que le nombre des cas pour lesquels h boules ne sont pas à leur rang est

CALCUL DES PROBABILITÉS. n5

La probabilité pour qu'aucune des boules désignées ne sorte à son rang est le quotient de cette expression par ni.

En supposant /( =n, on obtient la probabilité pour que, dans le tirage de toutes les boules, aucune ne sorte à son rang; elle est