III

99. Si Ton prolongeaiit cette série, elle représenterait le développement de e~' ; donc, excepté lorsque n est un petit nombre, on peut supposer que la probabilité a la valeur

très approchée; car si « = 91» valeur exacte de la probabilité est 0,3678792 et elle ne diffère pas d'un niillionième de e~'.

Donc pour les valeurs de n supérieures à neuf, la probabilité est sensiblement indépendante de n.

100. La probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre a pour valeur exacte

et pour valeur très approchée quand n est supérieur à neuf

101. On peut traiter le même problème par une méthode d'approximation qui finalement conduit à un résultat exact.

Le nombre total des cas possibles est «!.

Le nombre des cas correspondant à une rencontre à un rangassigné est {n — i)!, car c'est le nombre des permutations des n — i numéros qui ne sont pas nécessairement à leur rang.

Le nombre des numéros que l'on a pu choisir pour la rencontre

nQ I. ItAClIKI.IEU.

élaiit n. 11' ndtnlirc dos l'.as lavorahU's est, en pr 'u-re approximation,

{n — i)l n =z ni.

C(> noml)ro est trop fort, car le «as de deux numéros sortis à leur raii^ est compté double: nous devons donc de l'expression précédente, retranclier le nombre (b^s cas où deux boules sont sorties à leur rang. Pour obtenir ce nombri-, nous devons prendre toutes les combinaisons de «numéros deux à deux, puis pernuiler les « — 2 numéros qui ne sont pas nécessaircmenl à leur ran;,'; nous obtenons ainsi

n{n — I ) iil

— (it — 2 ) ! = •

Le nombre des cas favorables est donc, en seconde approximation,

Ce nombre est trop faible, nous avons en effet supprimé à tort le nombre des cas qui correspondent à la sortie à leur rang de trois numéros, c'est-à-dire

ii(n — 1) (/t — 2) n] __ („3)(«-4)....-^-^-3.

Le nombre des cas favorables est donc, en troisième approximation,

ni n\ ni

et finalement sa valeur exacte est

ni n'. n\ {— i )"-'/( 1

Le nombre des cas possibles étant n\ la probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre est

102. Quelle est la probabilité pour que la première rencontre ait lieu

au fjL""'"' tirage?

CALCUL DES PROBABILITÉS. ■^y

Le nombre des cas possibles est ni. Le nombre des cas où la boule marquée un sort première est {n — i)l.

Le nombre des cas où la boule marquée deux sort seconde, celle qui est marquée un n'étant pas sortie première est (n — i)! —(/i — 2)!.

Le nombre des cas où la boule marquée trois sort troisième, celle qui est marquée un n'étant pas sortie première ni celle qui est marquée deux, seconde, est

(« — I ) ! — ( /( — 2 ) ! — [( « — 2 ) t — ( /t — 3 ) ! ] OU

Le nombre des cas où la boule marquée quatre sort quatrième, aucune boule n'étant antérieurement sortie à son rang, est

ou

et plus généralement, le nombre des cas où la a''"^" boule sort à son rang, aucune autre boule n'étant antérieurement sortie au sien, est

(„ j)! (^ .) (,, 2): -^ ifi^lili^i^^ (« - 3)!

" La probabilité correspondante s'obtient en divisant cette quantité par le nombre ni des cas possibles, on obtient ainsi

I ft — I I ('X — l){lX — 2) I

n 1 H (Il — I ) 1.2 n(n — i){n ( fjL — 1 ) ( )x — 2 ) ( g — 3 ) I

n{H — I 1 . . . I /? — IX ^ i)

Si l'on aditionne ces probabilités pour toutes les valeurs de a de un à n, on obtient la formule déjà connue de la probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre

7'^ I.. ItAClIKI.IKU.

\(i'^. Quelle est ta probabilité f)Our (fit il y (lit an moins u rencontres?

On pouf raisoniici- riiimiic piTccileinmont (n" 101) : l.c nombre des cas où a boules soitcnl à leur liiii^' est — f • Il tant ictrancber de cette expression les cas répétés. Ces cas sont ceux pour lesquels u. h- i boules sortent à leur rang, car ils peuvent résulter des [jh- i boules prises u. à u.. Ces cas sont donc répétés u. -h i fois et il iaut les

retrancher a fois. Or le nombre des cas pour lesquelles ]x + i boules

/(' sortent à leur rani; est -— :•

Le iKinilue des cas favorables est donc, en seconde approximation.

'il

en oonlimianl le mcMit' raisonnement, on obtient l'expression exacte de la |»riihaliilité clii'i'chée

il" a II

—ri '■ \

jji ! | fx -h I I . i f/ -H

1 a . . . ( n — jx) n

104. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait exactement [/. rencontres?

C'est la différence entre la probabilité pour qu'il y ait au moins [x rencontres et la probabilité pour qu'il y en ait au moins tx + i . C'est donc la quantité

La probabilité pour qu'il y ait exactement « — i rencontres est nulle, car s'il y a n — i rencontres il y en a nécessairement n.

105. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait exactement a rencontres à des rangs désignés ?

La quantité cherchée multipliée par le nombre des combinaisons de n numéros u- à [Ji doit reproduire la probabilité pour qu'il y ait exactement il. rencontres; la probabilité cherchée est donc