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106. Quelle est l' espérance d'un joueur H qui reçoit i Jranc par rencontre ?
La probabilité d'une rencontre est pour chaque tirage -; l'espérance correspondante est - et comme il doit y avoir n tirages, l'espérance totale est n -, c'est-à-dire i franc.
En d'autres ternies, le joueur H peut vendre h n joueurs dillérents l'espérance de gagner i fr, à chacun d'eux correspondant un des
n tirages. Chacun de ces joueurs ayant probabilité - de gagner i fr
devra acheter son espérance — • Le joueur H, dans ces conditions, recevrait I fr : telle est la valeur de son espérance mathématique.
Si l'on évaluait la probabilité des divers cas possibles, en nommant p/, la probabilité pour qu'il y ait exactement h rencontres, l'espérance demandée aurait pour expression
/), + 2/>2-r- 3/>3-l-. . .H- np„:
son calcul serait pénible ( n" 104). Dans le cas présent comme dans bien d'autres, l'espérance mathématique totale s'obtient plus facilement que chacun des termes dont elle est la somme.
107. Le jeu de la rencontre se pratique surtout avec des cartes: D'un jeu de cinquante-deux cartes on extrait, par exemple, les treize cœurs, on mêle ces treize cartes et on les retourne l'une après l'autre; il y a rencontre si, par exemple, la septième carte retournée est un sept.
Le joueur qui tient la banque reçoit de ses adversaires autant de fois leur enjeu qu'il y a de rencontres; il leur paie la valeur de leur enjeu si aucune rencontre ne se produit.
D'après ce qui précède, le jeu de la rencontre est équitable. Comme on se sert de treize cartes, ce jeu s'appelait autrefoisy'e;/ de treize.
En réalité, on fait généralement usage d'un jeu de cartes complet ou même de plusieurs jeux, mais on retourne seulement treize cartes.
108. Pour traiter la question dans toute sa généralité, nous supposerons une urne contenant r boules marquées du numéro un, /boules
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iin raisdiniaiil cihimuc préct'ilenuneut (n° 102) on voit que la probabilité pour (|iu' la prcniiiire nMiioiitrc ail lieu au u."""' tirage est
l __ (fit — iW- ( fX — I ) ( f/ — 2 ) /•'
/( Il ( m — I ) I . ■'. . n ( m — i}{rn — 2 ) (f/-i)(fx-2)(fx — 3)r' ^
Eu ajoutaut ces probabilités pour toutes les valeurs de a depuis UL = I jusqu'à u. = «, on obtii'ul la probabilité pour ([u'il \ ail au moi us une rencoulre
