I . 2 ( /•/» — I ) I . 2 . 3 ( /'/i — I ) ( rrt
{n — I ) ( « — 2 ) ( H — 3 ) /•' I . 2 . 3 . :i ( r/i — I ) ( rn — 2 ) ( m — 3 )
La métbode des approximations successives (n" 101 ) aurait conduit à cette même expression ; elle permet aussi de calculer la probabilité pour qu'il v ait au moins a rencontres, celte probabilité est
( /J 1 ) ( « — 2 ) ... ( « — jUL + I ) /-l^ -'
fx ! ( m — I ) ( r« — 2 ) ... [rn — fjt -t- 1 )
(n {n—p.)r [X (n — n){n — iJ. ~ ])>■''
fx -+- 1 /•/( — /JL p. -H 2 1 . 2 ( rn — /JL ) ( m — jx — 1 )
|JL ( n — !■>■){» — IJ- — 0 ( n — fJi — 2 ) /•'
fx -t- 3 I . 2 . 3 ( /■/< — fi ) ( /■/( — fi — ')(fn — fi — 2)
109. L'espérance mathématique d'un joueur H à qui l'on promettrait I fr par rencontre serait i fr comme dans le cas particulier précédemment étudié et pour la même raison.
110. Si l'on joue avec des cartes et si, après chaque tirage, on remet dans le jeu la carte sortie, les probabilités sont les mêmes que si le nombre des jeux de caries était infini.
Les divers problèmes relatifs aux rencontres sont alors des cas particuliers de la théorie générale des épreuves répétées qui a été exposée précédemment.
CALCUL DES PROBABILITÉS. 8l
La probabilité, pour qu'il y ait une rencontre à un numéro désigné,
est —
La probabilité pour (pi'il n'y ait pas de rencontre à un numéro désigné est i et, par suite, la probabilité pour qu'il n'y ait aucune
rencontre est
Si n n'est pas un petit nombre, cette probabilité est très voisine de
La probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre est
elle est très voisine de i — e~' = o,632i2o55. . . quand n n'est pas un petit nombre.
La probabilité pour que la première rencontre ait lieu an |jl'""* tirage est
La pi'obabilité pour qu'il y ait exactement a rencontres est
IJ.: {n — p.)\ \ Il J \ u
Si l'on promet à un joueur H autant de francs qu'il se produira de rencontres, son espérance est i fr.
111. Lorsqu'il y a un seul paquet de treize cartes, la probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre est o,G32i2.
Lorsque le nombre des jeux de cartes est infini, la même probabilité a pour valeur o,G4()74- La probabilité, pour qu'il y ait au moins une rencontre, est donc à peu près indépendante du nombre des jeux employés.
11 '2. Jeux de dés. — Quelle est la probabililé d'omener un point donné avec des dés ?
02 I.. i;a(.iii,i,iiu.
Les (U's onl (inlitiaiieiiicnl six faces iiiiir(|ii(''t's i , -i, . . .,(>, mais pour plus lie généralité nous su|)poserons des dés de / faces marquées
Si a dés semltlables sont jelés en même lemps, (|uelle est la proiialiililé d'obtenir un nombre de points donné X?
On peut eneore présenter ce problème de la manière suivante : Une urne contient / boules numérotées 1,2,.. .,/. Ouelle esl la probabilité pour(iue, en a tirai,M's. la somme des numéros sortis soit égale à /• si, ajjrès clia(|ue tiraiic. la boule extraite est replacée dans l'urne.
Le nombre des cas possibles est f^ puis(|uc chaque dé compte f faces.
Le nombre des cas favorables est le nombre des manières de former une somme égale à Â- avec ij. nombres inféiieurs à /' + 1 . dette somme est le coefticient de a* dans le dévelojtpemeni de
ordonné suivant les puissances de a;. On a
X 4- ,r- -f- . . . + jc/ =: .
L'expression (i) peut s'écrire
Or
Il faut chercher la somme des coefficients de r* dans le développement de (2) ou celle des coefficients de x''~^ dans le produit des deux séries ci-dessus.
Au premier coefficient de la première série correspond le coefficient de a;*"!^ dans la seconde; au second coefficient de la première série correspond le coefficient de oc^'^^^ dans la seconde, etc.
Le coefficient cherché a donc pour valeur
fi( fi — I ) . . . ( X- — I ) ft iJ-jtj. — I ) ■ ■ ■ (A — 1 — /)
l .1...{A- —rj.) 1 1.2. ..(/,— f/ —/)
tjJ IX — l) u ( ;jL — 1 ) ... ( /,• — 1 — ■y./) . .
série ((uc l'on continue tant que les termes sont positifs.
En divisant cette quantité par le nombre /i* des cas possibles, on obtient la probabilité cherchée.
113. S'il y a deux dés de six faces, les probabilités d'amener les points 2, 3, . . ., 12 sont respectivement
Au point sept correspond la plusijrande probabilité -r- Les probabilités
sont symétriques par rapport à la plus grande, résultat évident.
On jouait autrefois, avec trois dés, le jeu i\u passe dix; l'un des joueurs gagnait si la somme des points dépassait dix et perdait dans
le cas contraire. La probabilité de gagner était -, car le point dix a
même probabilité que le point onze, le point neuf a même prob;diilité que le point douze, etc.
La même symétrie existe évidemment. (|ucl que soit le nombre des dés et le point le plus probable est toujours le point médian. Si, par exemple, il y a quatre dés, le point minimum est quatre et le point maximum vingt-quatre. Le point de plus grande probabilité est quatorze. S'il V a cinq dés, les points dix-sept et dix-huit sont les plus probables, etc.
114. ^eu de la poule. — Trois joueurs A, B, C jouent aux conditions suivantes : A et B jouent ensemble ; C ne joue pas. Le perdant sort et est remplacé par C. De même, après chaque partie, le perdant est remplacé. Le jeu prend lin quand un joueur gagne deux fois de suite.
S\ I.. lîAClIK.UF.U.
On siipjjosi' (|ii(> le jtMi ooiisidi-ré est un jeu de hasard et (|ue la prol)al)iliti' d»' gagner une partie <>st - pour cliiKinc joucnr.
Los [)r()l)al)ililt's pour (|n(' le joii se lerinine à la secdndc |»artic, à la (niisiènie. it la (iiiatriènic, à la p."""', sont respeetivenienl
f (îV- G)" (T
car il \ a, à chaque partie, une chance sur deux punr (|iie le jeu se termine; la prohahilité relative à une partie est donc la moitié de la prohabilité relative à la partie précédente.
I I."). La probabilité pour (|uc le jeu se termine en a partie* est La probabilité pour ([ne le jeu ne soit pas terminé en u parties est
On aurait obtenu cette même valeur en remarquant que, si le jeu a duré plus de lu parties, c'est que, A ayant gagné la première partie, C a gagné la seconde, B la troisième, A la quatrième, etc., ou que, B ayant gagné la première partie, C a gagné la seconde, A la troisième, etc. A 'l'une des deux hypothèses correspond la probabilité ( - j et par suite
la probabilité totale est (-
116. Le joueur C ne peut terminer le jeu qu'en gagnant la troisième partie, ou la sixième, ou la neuvième, etc., sa probabilité totale est
a)"-(jV^(iy-(î)"-=^-
La probabilité du gain final du joueur C est donc-^ et les probabilités des deux joueurs A et B sont —, ■
117. Lorsqu'il n'y a que trois joueurs, on peut supposer à ceux-ci des probabilités dillérentes sans trop compliquer les calculs.
Supposons, par exemple, que A jouant avec B ait [)rol)aliililé/? pour gagner une partie et proljabilité q ^=i ~ p pour perdre; jouant avec (1 les probabilités correspondantes seraient p et q'. Enfin, 1} jouant avec C aurait probabilité p" pour gagner une partie et probabilité q pour perdre. Pour que le jeu ne soit pas encore terminé à la ^•'^""' partie, il faut que l'une ou l'autre des éventualités suivantes se réalise :
A gagne la première partie, C la seconde, B la troisième, A la quatrième, . . ., les joueurs gagnant successivement. La probabilité correspondante est
pq' p" P']' p" P<l' p" . . . .
la formule se compose de X- termes.
Dans la seconde hypothèse, B gagne la première partie, C la seconde, A la troisième, B la quatrième. . . et la probabilité est
<i'i" p' 'ri" p' n<i" P ■ •••
la somme de ces deux quantités est la probabilité pour que le jeu ne soit pas encore terminé à la A-'"""" partie.
La probabilité pour que le jeu se termine à la {k -h i )''•"'*' partie est égale au produit de la probabilité pour qu'il ne soit pas terminé à la /jieme partie par la probabilité pour qu'il se termine à la partie suivante. Par exemple, la probabilité, pour que le jeu se termine à la huitième partie, est
pq p"pq'p"p X /)' + qq"p' qq"p' q X p" .
Le joueur C ne peut gagner finalement que si le jeu se termine à la troisième, la sixième, la neuvième,... partie; la probabilité totale de son gain final est donc
pq'q"+ {pq'p")pq'q"+ {pq' p" Y pq' q" -r . . .
+ qq" q'+{ qq" p' ) qq" q' 4- ( qq" p' )= ././' q' + . . . OU
P9''i" I qf/'ci" \—pq'p" i — qp'q"'
Le joueur A peut gagner finalement à la seconde, la cinquième, la huitième, . . . partie; la probabilité de cette éventualité est
PP' + ipg' p" ) PP' -^ { P7' p" )'' PP' ^ ■ ■ ■ ■
f<() 1.. llAniKI.IKK.
il peiil aussi j;agnor;i la (|ii;i(ririm', lu sc^plirinc l;i dixirnio, . . . piirlio, la [iroIiaMIitr est
iW"/'')/' + {'iq"p'Yp+{'N"p'fP+- ■■■
l.a probaliilili' (olalc pour (|u'il gagno Ihiali-incnt est donc
