PP' , P
1 pr/'p" ' — '//>''/"
La iirohaliililc lolalc du gain linal du joueur B est
m , np'i p
I ff
' — 'IP '/ ' — PI p
La soninif <\v> probabilités relatives aux troisjoueurs esta/i, résultat évident.
Dorénavant, nous supposerons que les joueurs ont même probabilité de gagner une partie.
1 18. Nous allons calculer la durée moyenne du jeu. On désigne ainsi l'espérance matbéniatique d'un joueur H qui devrait loucher i t'r par partie jouée.
La durée moyenne du jeu considéré, lorsqu'il y a trois joueurs, est
i)x.+(iyx3+(iyx44-....
Cette série se décompose, comme on sait, en une somme de progressions géométriques; sa valeur est trois. La durée moyenne du jeu est donc trois parties.
119. On peut arriverai) même résultat par une voie dill'érente : Soit y la durée moyenne du jeu, et soit/, la durée moyenne lorsque l'un des joueurs a gagné une partie ; on a
car une première partie doit être jouée, un des joueurs la gagnera et la durée moyenne deviendra/, après cette partie. On aura de même
En etlel, on jouera encore une partie, et deux cas également probables seront à distinguer : ou iejoueur qui a gagné la première partie gagnera encore la seconde et le jeu sera terminé, ou bien ce même joueur perdra cette seconde partie et la durée moyenne du jeu sera, à partir de ce moment, v,.
Les deux équations qui précèdent sont donc légitimes et l'on en déduit
La durée moyenne du jeu estdonc trois parties, comme nous l'avions trouvé.
120. Plusieurs joueurs A, B, C, D... en nombre /i -+- 1 peuvent jouer dans des conditions analogues : A et B jouent ensemble, C, [),... ne jouent pas ; celui des joueurs A et B qui perd sort du jeu pour n'y rentrer qu'après que tous les autres ont joué, celui qui gagne joue avec C; s'il gagne encore il joue avec D, s'il perd il devient le dernier du jeu et C joue avec D. L'n joueur continue ainsi à jouer successiyement avec ses différents adversaires tant qu'il gagne; il devient le dernier du jeu quand il p(M-d.
Le jeu prend tin quand un des joueurs a gagné «parties de suite, c'est-;i-dire quand il a vaincu successivement tous ses adversaires.
Supposons d'abord qu'il y ait quatrcjoueurs A, B, C, D; soient: via durée moyenne du jeu, y, la durée moyenne lorsque l'un des joueurs a gagné une partie, et v^ la durée moyenne lorsque l'un des joueurs a gagné deux parties de suite: on a
pour la même raison que précédemment et
'•,= I -H - r, -T- - Vi,
car on doit jouer la seconde partie; puis deux cas également probables peuvent se produire : le joueur qui a gagné la première partie gagne la seconde et la durée moyenne devient i'^ ou ce même joueur perd cette partie et la durée moyenne devient v,.
88 I.. liAC.IIKI.lI'.K.
On aurait dv iiiciuc
rar un des joucuis ayant gagné deux paiiics de suite et la partie suivante étant juue<\ deux eas égaleinenl proliables sont ii distinguer : ou le joueura gagné celte dernière partie et le jeu est arrêté, ou il a perdu cette partie et la durée inoypnne devient y,. Des (rois équations (jui précèdent on lire
ys=4, j, = 6. j=:7.
La durée moyenne du jeu est sept parties.
121. On calculerait de même la durée moyenne ,7 pour un nombre quelconque n ■+■ 1 de joueurs; en désignant par y,, y,, ...,,y„ la durée movenne. lorsque l'un des joueurs a gas:né une, deux,..., n parties, on est ramené à la résolution des équations du premiei' degré
y =>-^Vi- fl'on ,v, =j' —I,
y, =i-h—-h^ .) y, =jj —4,
En ajoutant toutes les dernières égalités et en remarquant que Vn—- o, on obtient
La durée moyenne du jeu est donc 2" — i parties.
122. Théorie des réussites successives. — Soitp la prohahilité d'un événement à rhcufae épreuve : Quelle est la valeur moyenne du
CALCl'L DES PROBABILITÉS. 8()
nombre des épreuves qu'il faut tenter pour (pie févénemenl se produise n fois de suite ?
Soit u^ cette valeur moyenne quand l'événement s'est produit x fois de suite, on a
En effet, l'épreuve suivante a nécessairement lieu, ce qui augmente la valeur moyenne de un. Acette épreuve, il y a probabilité/; pour que l'événement se produise et probabilité i — p pour qu'il ne se produise pas; la valeur moyenne devenant Uj-^, dans le premier cas et //„ dans le second, l'équation est exacte.
De cette équation on déduit
Un^X = I H- pu,, -h ( I — /) ) «0-
Multipliant la seconde équation par p, la troisième par/)'', la quatrième par/>', . . . et additionnant, on obtient
Telle est la vaieur moyenne cherchée.
123. A chaque épreuve la probabilité de l' événement A estp et celle de r événement ^ est q =^ i — p. Quelle est la laleur moyenne du nombre des épreuves qu'il faut tenter pour que l'événement A se produise n fois de suite ou l'événement B, m fois de suite?
La durée moyenne d'un jeu étant, par définition, la valeur moyenne du nombre des parties jouées (ou, en d'autres termes, l'espérance mathématique d'un joueur qui devrait toucher i fr par partie jouée), on peut encore énoncer le problème précédent sous la forme suivante :
Le joueur A a probabilité p pour gagner une paitie et le joueur B a pour probabilité q ^i — p. Le jeu prend fin quand le joueur A a gagné
t)() I,. ItAr.llELIF.R.
/( parties de suite, ou (luaiui le joueur U a gagué w parties de suite. Quelle est la durée moyenne du jeu?
lîn désignant par // cette (|u;iiilili', on a
Il =: I -h pYi -)- </=!•
V, étant la durée moyenne du jeu quand le joueur A a gagné une partie et z, étant la durée moyenne (]nand le joueur lî a gagné une partie.
• Kn ellel, une première partie est jouée, puis il y a probabilité p pour que le joueur A gagne et par suite pour que la durée moyenne du jeu devienne y, et probabilité q pour que le joueur B gagne et pour (|iie la durée moyenne devienne -,.
Désignons par v, la ilurée moyenne du jeu lorsque le joueur A a gagné r parties de suite et par s, la durée moyenne lorsque le joueur B a gagné ce parties de suite, on a
car la partie suivante étant jouée, ce qui augmente la durée moyenne d'une unité, il y a jjrobabilité p pour que le joueur A gagne et, par suite, pour que la durée moyenne devienne y^j+i et probabilité r/ pour que le joueur B gagne et pour que la durée moyenne devienne ^,.
On a de même (2) j^=i + 7z^+, -i-py,.
Les équations linéaires aux difl'ércnces finies (i) et (2) peuvent s'intégrer par la métbode générale (n° 132) mais on peut facilement obtenir leur solution sans avoir recours à cette théorie.
De l'équation (i) on déduit successivement
Jl
= 1 -H/JJî+V^i
= 1 -y-pyi^qzi
multipliant la seconde égalité par/), la troisième par/j^, .... la dernière par/j" * et additionnant, on obtient
— i ■^p"^'yn + {i — /''
CALCUL DES PROBABILITÉS. gi
OU simplement, puisque v„= o,
De l'équation (2^ on déduit successivement
multipliant la seconde égalité par q, la troisième par q-, . . ., la dernière par q"''- et additionnant, on obtient
ou simplement, puisque z,„ = o, (4) ^.= — ^^ — +('-?'"-')/.•
Des équations (3) et (4) on déduit
7(1 — y"'-')+jP(i— /)"-')(! —</"'-')
">— /jgr[gr""-i — ^"-17"— ' + /»«->]
et puisque
on obtient finalement
Telle est V expression de la valeur moyenne cherchée.
Si l'on a, en même temps, m = n et/> = y = -, la formule se réduit à 2" — I.
124. A chaque partie il y a probabilité p pour que le joueur A gagne et probabilité q = i — p pour que le joueur B gagne. Le jeu prend fin
9'-i I.- i:A(.iii-.i.ii.i; .
(fuaml le joueur A a gaf^né n purties de suite ou quand le joueur B a g(i£;né m parties de suite. Quelle est la probabilité pour //ue le jeu se termine par le gain Jinal du joueur A ?
Soit Mj. la i)rol)al)ilil(' chon-lK'o (iiiaïul le joiiour A a gagné .r parties (le suite et soit »j. cette probaliiiilé quanil le joueur IJ a gagué x parties de suite, on a
i'x—pnxs\-y-<ni-\\
en effet, en jouant la prochaine partie, le joueur A a la probabililc p (le gagner et la probaMIitc y de perdre; dans le |)reniicr cas, la proliabilité de son gain iinal devient aj^+, et dans le second cas elle devient «,. De l'équation qui précède, conséquence immédiate des principes des probabilités composées et totales, on déduit
«, ^ pui. -+- qu -\,
II, =pu^ + (]ll^, U3 =1 pi/,, + qu t,
multipliant la seconde égalité par p, la troisième par p', dernière par//'"^ et additionnant, on obtient
ou, puisque «„ = i.
On a évidemment
Il X— Plli + -/«-(x+D-
car en jouant la prochaine partie le joueur A a la probabilité p de gagner; la probabilité de son gain final est alors w,. Il a aussi la probabilité q de perdre; la probabilité de son gain final est alors u x-\- On déduit de cette dernière équation
«, =pili-i-qii^3,
u^i,„i^ — pii^-^qu,„.
CALCLL DES PROBABILITÉS. gS
multipliant la seconde égalité par*/, la troisième par (/', ... la dernière par q'"~-, on obtient
«, = 7'"-' «„, ^tt^{^ — 7"'-' ),
a„ qui exprime la probabilité de gain final du joueur A quand son adversaire a gagné m parties de suite est nul, on a donc
Les équations (i) et (2) déterminent ll^ et i<,
çm-i — p"
La probabilité X du gain final du joueur A a évidemment pour
valeur
car ce joueur a probabilité/) de gagner la première partie qu'il joue et probabilité q de perdre cette partie; on a donc
p'i- 1 pi-i ^,H-l ^ gm-l
La probabilité du gain final du joueur Best de même
p'i-l pn^l gm-i ^ gm-l'
La somme X -h Y des probabilités a pour valeur un, résultat évident.
125. On peut déduire l'expression des probabilités de celle de la durée moyenne : Soit L",„„ cette durée moyenne quand le joueur A doit gagner n parties de suite ou le joueur B, m parties de suite ; on a
En effet, si m était infini et si, par suite, le joueur A pouvait seul gagner finalement, la durée moyenne serait U„... Cette quantité U„ ,, peut être considérée comme composée de deux sortes de termes :
C)'| I.. nACHF.I.IEU.
r* Ceux qui corrospondout aux alfcruativcs do c;ain ot de perle du joueur A qui u'anirneraieiit pas le gaiu Huai du joueur B si celui-ci pouvait gaguer liualeiueut par w réussiles;
i>" Ceux qui correspondeiil aux allernatives de gaiu et de perte du joueur A qui amèneraieut le gaiu final du joueur M si celui-ci pouvait gagner ])ar m réussites.
Considérons ce second cas dont la probabilité est Y; lejeu se trouve, h un moment donné, arrêté par »? réussiles successives du joueur B.
A cet instant, si le jeu pouvait continuer jusqu'à ce que le joueur A ait gagne par n réussites successives, la durée moyenne serait U„,..
La possibilité du gain final du joueur B diminue, donc la durée movenue de la quantité YU„,. et l'équation qui précède est exacte, on peut l'écrire
U„,„,= XU„,. d'où X=J^.
En remplaçant dans cette expression U„„, et U„,« par leurs valeurs on obtient, comme précédemment,
p"-\ pn-\(jm^l^qm-\
126. Supposons qu'à chaque partie il y ait un seul gagnant. Le joueur A a probabilité/^ pour gagner, le joueur B a pour probabilité y, le joueur C a pour probabilité r, — Le jeu prend fin quand le joueur A a gagné n parties de suite, ou quand le joueur B a gagné m parties
de suite, ou quand C a gagné X parties de suite Les probabilités
pour que le jeu se termine par le gain final du joueur A, du joueur B, du joueur C, . . . sont proportionnelles aux quantités
On le démontre par un procédé analogue à celui dont nous avons fait précédemment usage (n° 124).
127. S'il y a k joueurs ayant égale probabilité t =/> de gagner une partie, et si le jeu prend fin par le gain successif de n parties par un
même joueur quelconque, la durée moyenne du jeu a une expression très simple.
Soit, en effet, Uj. cette durée moyenne quand un des joueurs n'a plus que ,r parties à gagner pour que le jeu prenne fin ; on a
car une première partie sera nécessairement jouée et la durée moyenne deviendra Uj.^, ou «„, suivant que cette partie sera gagnée par le joueur qui n'a plus que x points à faire ou par un des autres. On déduit de cette équation
Wor-I = ' + P"j:-1 -+- ( I — /^ ) "n-l ' «1-2=1 -t-/>M:r-3+ {'—p)Un-l,
(2) I u^ =i-hpiu -h(l—p)lt„i,
l'i =n-/'Wo -^0 —p)Un-i;
niultiijliaiit la première équation (2) par p, la seconde par//-, ... la dernière par/?-^"' et ajoutant leur somme avec l'équation (i), on obtient, en remarquant que u„ est nul,
"^= +ii—p')u„i.
Posant J? = n — r , on a
La durée moyenne cherchée est évidemment i'hu„,, c'est-à-dire
et, en remplaçant/? par j^ son expression devient
128. Équations aux différences finies. — Plusieurs problèmes nous ont conduit à des équations aux différences finies; par exemple, le problème des tirages dans une urne (n" 95) nous a conduit à
<)(■> I.. IIACIIKMEU.
r('(|iiali(in
(lui i's( ;uix (li(TéreiU"os fitiics à iiiic s(mi1c variable. L'fviualion (n" 80)
{x -+■ y) 7.:c,y = ^f'x-i.y + Y'lx,y-l
est aux différences Jinies partielles à deux variables.
!29. .Te suppose qu'un problème conduise à une équation aux difTérenccs Unies : f ■= o, et que l'on connaisse la solution la plus générale de celte équation. Cette solution la plus générale contiendra des constantes ou des fonctions arbitraires que l'on déterminera par les conditions spéciales du problème considéré.
Par analogie avec les équations de la Phvsique mathématique, l'équation générale du problème, y = o, esl dilo é(/uation i/ide/i/iic. Les conditions spéciales qui déterminent les constantes ou les fonctions arbitraires sont nommées pour la même raison : conditions relatives à l'état initial et conditions aux limites.
Ainsi, relativement à un problème précédemment traité (n° 81),
est l'équation indéfinie du problème,
i'o,, = o et ('j„ = o sont les conditions ou équations aux limites.
130. Il n'est généralement pas possible de présenter la solution (ou intégrale) d'une équation aux différences sous sa forme analytique la plus générale, mais, dans bien des cas, la connaissance de cette solution n'est pas nécessaire; il suffit, en effet, de connaître la solution la plus générale compatible avec les équations aux limites et qui n'est qu'une solution particulière de l'équation indéfinie.
Lorsqu'il ne parait pas possible d'intégrer une équation aux différences : l'équation indéfinie, dite aussi équation de récurrence, permet généralement de déterminer de proche en proche les différentes
CALCUL DES PROBABILITES. Ç)^
valeurs numériques de la fonction considérée. Les calculs sont d'ailleurs impraticables quand les variables peuvent prendre un grand nombre de valeurs.
131. Les équations aux différences finies présentent. des analogies avec les équations aux différences infiniment petites (équations différentielles); leur théorie a été l'objet d'études considérables que nous ne pouvons reproduire ici.
Nous nous contenterons de montrer qu'on peut toujours intégrer les équations aux différences quand elles sont linéaires et à coefficients constants.
