Considérons l'équation

OÙ les A sont des coefficients constants; c'est une équation aux différences finies linéaires et à coefficients constants, dont l'intéffralion rappelle celle des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

On pose

C et t' sont indéterminés, on a donc

et si l'on substitue dans l'équation (i) elle devient divisible par Cr^ et l'on a, après cette division

( 2 ) Aa- i"*' -1- Ak-, f*-' H- . . . + Al r -1- Ao = o.

Le coefficient C ([ui ne figure pas dans cette équation demeure arbitraire.

Cette équation étant du degré k déterminera, en général, pour c, k valeurs dill'erentes, c,, v.^, . . ., i\.

En multipliant chacune de ces quantités r' par des constantes quelconques, on obtiendra les k expressions

C,rf, C^-f, .... C,vf.

Yi. - I. % .3

Ç)8 I,. ItAC.IIEI.IKU.

(]ui véritii'i'oiil l'i>(|iialioii (i ), et, ciiiiiiiio collc-ri est liiicairc. la somme (le oos X" t'xpri'ssions vérilitTa cf^aloment l'équation {i). tic sorte iiiron aura, en i;énéial.

.i\- — Cl (•■;■ + c, ri -)-... -H c<. cj.

Comme cette valeur île Vj. contient /• constantes arbitraires, C,, Co, .... C.y(. elle csl l'intégrale générale île re(|iiati(in (i) de ronlre /■.

L'équation (i) est souvent appelée équation de récurrence et ré(|ualion (2") équation caractéristique.

133. Comme pour les équations dilTérentielles linéaires, lorsque l'équation caractéristique admet une racine doublée, =<'„. les intégrales partieulières correspondantes sont

C,i| et C,xi'f.

Dans le cas d'une racine triple, i', = <,'., = e,, les intégrales particulières seraient

134. Cette analogie avec les équations difTércntielles linéaires subsiste pour les équations à second membre : L'intégrale générale de l'équation avec second n)embre peut s'obtenir en ajoutant à l'intégrale générale de l'équation privée de second membre une intégrale particulière de l'équation complète.

Si le second mend)re est constant, ré(|uation complète admet une constante C pour solution particulière.

Car, en posant r = C dans l'équation complète

A/..Xx+A-4- Aa i.i'^+/,i -f- . . . + A, 7^+, + A„ j^.= H,

celle-ci devient

C(Aa.4- Ax-, + . . . -I- A, + A„) = H

et détermine C, ii moins que la somme des coefficients A^, A^..,, . . . ne soit nulle.

La solution particulière est alors de la forme v = Cx, car en substituant cette valeur dans l'équation complète elle devient

(:.r(AA.-H Aa., + . . . A,H- Ao) -'r-C[kKk+ (A- — i)Aa., + . . .+ A,] =H,

la première ligne est nulle, la seconde détermine C à moins que le multiplicateur de C ne soit nul.

Alors la solution particulière est de la forme v = Cr-; en substituant cette valeur dans Téquation complète, on obtient, après avoir supprimé les termes nuls,

C[A-Aa.-h (/■ - i)V\a.-, + . . .-H A,] = H

qui détermine C. à moins que le coefficient de C ne soit nul, etc.

On traiterait de la même manière et par analogie, avec les équations différentielles linéaires, les équations dont le second membre serait un polynôme en x.