SKCOND PROBLÈME UE LA THEOKIE DU JEU

135. Nous allons roprciidre l'éludo do la théorie i^rnérale du jeu dont les éléments ont été exposés dans le second chapitre.

Nous avons supposé deux joueurs ayant à leur disposition une somme indéfinie, jnnant un nombre de parties convenu, et réglant il la lin du jen les dill'erenccs. C'est le premier problème de la théorie du jeu.

Nous allons aborder maintenant l'étude tlu second problème : la somme totale que l'un des joueurs veut ris(|uer an jeu, et (|ue, pour simplifier, nous appellerons sa fortune, est limitée; la fortune de son adversaire est supposée infinie.

Ces conditions sont réalisables; en effet, jouer contre tout adversaire qui se présente, c'est, en réalité, jouer contre un adversaire de fortune infinie.

Nous dirons, pour simplifier, (jue le joueur est ruiné quand il a perdu la somme totale qu'il consacrait au jeu.

136. Pour bien différencier le problème actuel de celui que nous venons de traiter, on doit supposer que, après chaque partie, le perdant verse son enjeu au gagnant. Dans ces conditions le joueur dont la fortune est limitée pourra, à un moment donné, avoir perdu sans es[)oir de retour la somme totale qu'il voulait jouer.

Nous étudierons constamment le sort du joueur qui a une fortune finie, le sort de son adversaire de fortune infinie, s'en déduisant immédiatement.

Le principal problème que nous aurons à résoudre sera alors le

CALCUL DES PROBARILITES. ÏOI

suivant : Le joueur A ayant une fortune finie m et son adversaire B une fortune infinie, quelle est, dans des conditions données, la probabilité Hun, pour que le jeu s'arrête, à la a''''"'' partie, par la ruine du joueur A. Ou encore : quelle est la probabilité P^.,„ pour que la ruine du joueur A se produise en jouant au maximum a parties. La connaissance d'une des probabilités II ou P entraine la connaissance de l'autre.

Nous nous occuperons d'abord du cas particulier du jeu équitable et des probabilités égales. Il nous a été possible de simplifier beaucoup l'étude de ce dernier cas, en sorte qu'il constitue un des problèmes les plus élémentaires du calcul des probabilités. Une simple remarque permet de passer de ce cas particulier au cas beaucoup plus général où les probabilités sont quelconques, les enjeux restant égaux. Enfin la théorie des probabilités continues résout le problème quelles que soient les conditions du jeu.

137. Cas où le jeu est symétrique. — Un joueur X possède m francs; il a, pour chaque partie, probabilité égale de gagner ou de perdre i fr ; quelle est la prohahililé pour qu'il perde ses m francs en jouant au maximum ii. parties'

Désignons comme précédemment (n" .52) par rs^,,,, la probabilité qu'aurait le joueur A de perdre m francs à la a"'""' partie si sa fortune était infinie

fi — m , ij. ^ m ^

Désignons encore par u'p,.,„ la probabilité qu'aurait le joueur A de perdre une somme égale ou supérieure à m à la u.""-» partie si sa fortune était infinie

Soit enfin P^,„ la probabilité cherchée.

La ruine peut avoir lieu à la m''""' partie, à la (m -+- 2)''™" partie, etc. Si la différence entre ui et m est paire on a

l. BACIIELIEK.

Kii oflVl. la |)ort(' m ne |)eiil (■tro dépassée à la ((Ji.-f- 1)''""" partie sans i|ue la perte m ait été atteinte dans les ix premières parties: la probabilité 'r,ji^,„„+, est donc é;j;ale à la probabilité P^,„, multipliée par la probabilité pour (|in'. la perle ni ayant été atteinte avant a parties ou en a parties soit dépassée à la(fji-(- i)"""' partie, c'est-à-dire niullipliée

par -, on a donc

il'où

i [J..m -— 2 -rjn-i.m + i =^ 2 [Wii+i.Hi-t-t •+- W|jL-(-i,m-t-3~l" ... H- nT|i4.] [i+i J.

Cette formule peut servir à calculer P^^,,,.

138. Il est préférable d'exprimer la probabilité P^,„, en fonction des probabilités cj relatives à la [x''=°"' partie.

On a évidemment

car, si la perte est i à la (a -i- i)'- partie, elle a certainement été i — i ou î -f- 1 à la [k''""' partie.

Si l'on transforme la valeur de P^,,,, d'après cette formule, on obtient

Pu.,m= '•^[i.m-l- 2(nTjj.,.„H 2-f- ^u..iin-i-^ . . . -4- CTji.jj.),

OU encore

Si la différence entre a et m est paire, la ruine ne pouvant avoir lieu à la ul'*""* partie, la probabilité pour que la ruine ait lieu avant jj. parties

eST r a-1 ,m"

139. Si [X tend vers l'infini, nj^,„ tend vers zéro et '^£y,,m+2 vers-; alors PpL,,n tend vers un.

Si donc le joueur ne se fixe pas un nombre maximum de parties, sa ruine est certaine.

140. Cherchons maintenant la probabilité U^,,,^ pour que la ruine ait lieu précisément à la u.'*'"'* partie, c'est-à-dire pour qu'elle ait lieu à cette a'*™^ partie, la perte totale de m francs n'ayant jamais été

CALCUL DES PROBABILITÉS. Io3

atteinte auparavant. On a

Or, d'après la formule du u" 138,

et, d'après la formule du n° 137,

Comme d'ailleurs

^uj — ~ ^a— 1,1 — 1 ~l S'il- i,n-l'

on peut écrire

et par suite ou

p. fji. — /« , ;j. -I- /« I \ 2 / jJL ■ '

Telle est l'expression de la probabilité pour que la ruine ait lieu à la u.'""" partie.

141. La probabilité P^,m pour que la ruine ait lieu en ul parties s'obtient en sommant toutes les valeurs de n^^ de m à u..

les valeurs successives de jj. étant m, m -{--2, m + 4. • On peut écrire, en posant p. = w + -i/i.

1.2.3.4-4* ni{ni -t- /i + i)(//i + A -t- 2). . .(«« H- 2/; — i)1 JW' J"

Io4 1- IIAOIIEMER.

Oite formule apparf minent (liirérente de colle (lu n" i;}8 se compose comme elle de^^^ — ^termes.

142. Distribution des probabilités. — Pour rosoudri-d'iiiu' façon conipli'ti' lo pndiii'nie ([ue nous nous sommes proposé, il faul détormiiicr les probabilités relatives à tous les cas possibles, c'est-à-dire la dislribnlion des probabilités.

Nous connaissons les probabilités relatives aux cas où le joueur est ruiné, il nous reste à clierclier les probabilités relatives aux cas où le joueur n'est pas ruiné.

Si le joueur n'est pas ruiné à la u.'""*' partie, il peut perdre {m — 2) francs, {m — l^) francs, ... où il peut gagner i fr, 3 fr, ... si a est impair; 2 fr, \ fr, ... si u. est pair.

Nous allons déterminer la pi'obabilité pour (|iie, à la ij.'*''"*' partie, le joueur perde la somme m — y (qui est un gain si y est supérieur à /n), ce joueur n'ayant pas antérieurement perdu la somme m.

Si le joueur A avait une fortune infinie, la probabilité cherchée aurait pour valeur nT^,,„, ; la possibilité de la ruine de ce joueur diminue cette probabilité d'une quantité que nous allons déterminer.

Si le joueur, lorsqu'il est ruiné pouvait continuer à jouer, il y aurait par suite de la symétrie de la probabilité, autant de chances pour que, à la jjL'"'""' partie, il ait perdu y francs que de chances pour qu'il les ait gagnés; dans le premier cas la perte serait m + y et dans le second cas elle serait m — y.

La possibilité de la ruine du joueur supprime donc en même temps que la probabilité de la perte m -h y une probabilité égale pour la perte m — y.

La probabilité pour que, en a parties, la pcrtedu joueur soit /n —jy est donc

^V-.m—y W(ji,«!-i-y

14.3. De la formule précédente il est facile de déduire la probabilité de ruine ITij,,,,,. En effet, pour que le joueur soit ruiné exactement à la fx'™*" partie, il faut que sa perle soit (m — i) à la ((x — i)'<"""' partie, cette perte n'ayant pas précédemment atteint la valeur m; il faut ensuite que le joueur perde la a'""""" partie. A la première condition cor-

CALCLX DES PROBABILITÉS. Io5

ri'spomi la prnlialiilitc (^y^^^, ,„,.,— T^^,,^,„+, ) cl à la seconde condiLioii la probabilité -; on a donc

"^ 2 • • fi fx — //i , p. H- m , \ 2 / J^

144. Principe général relatif au cas où les enjeux sont égaux. — Le joueur A ayant pour chaque partie probabilité p de gagner i Ir et probabilité q de perdre i fr, quelle est, dans des conditions données, la probabililé pour (}ue, en u. parties, il perde /«francs.

hi le joui'ur a perdu w lianes en u. parties, c est qu il a gagne'

parties et perdu ^— — parties. La probabilité pour que ces gains et ces pertes se soient succédé dans un ordre donné est

y. — in u — III

la probabilité pour que ces gains et ces pertes se succèdent en suivant une loi déterminée sera

i- désignant le nombre des successions de gains et de pertes qui satisfont à la loi donnée.

k est un coefficient indépendant de/) et de </. et, si on peut le détei'miner lors(]ui'/j égale y, on connaîtra par ce même fait la probabilité lorsque p dillerera de </.

La connaissance des probabilités loi scjiie le jeu est symétrique a pour conséquence immédiate la connaissance des probabilités lorsque le jeu est dissymétrique.

On suppose que deux alternatives sont seules possibles à chacjue partie.

145. Reprendns à titre d'exemple le premier problème de la théorie du jeu : Le joueur A ayant à chaque partie probabilité p de gagner un franc et probabilité q de perdre i fr, (juelle est la probabililé pour (|ue sa perte soit m ii la u"""' partie?

lof) I.. KACIIKI.IEK.

i;. ~,ii n -1- m

La prulKiliilili' cluM'chée est ncccssairi'mcnl ilc l:i l'oiinc /,/> ■ q * ot elle se rédiiil à !<{-] Ii»rs(jue p = q ^= -, c'est-à-diro l()rs(Hi(' le jeu est symrtrit|ii('.

[x — m , fx -h m , \2 ■i 2

La quantité X- étant alors connue, nous pourrons écrire immédiatement l'expression de la probabilité cherchée dans le cas général

jjL — »i I /Jt + m I

146. Étude de la probabilité. — Le joueur A ayant, pour chaque partie, probiihililé p de gagner i fr et prolxtbUilô q de perdre i fr, quelle est la prohahililé pour qu'il perde ses m francs après avoir joué a parties, de telle sorte que la [jJ'"" partie lui enlève son dernier franc?

La pi-obal)iiilé de la ruine à la u.'"""' partie lorsque /' = y a pour expression (n" 140)

La probabilité de la ruine dans le cas où p dillère de y est donc (no 144)

147. La prohabilité pour que la perte soit m en jouant u. parties, cette perte ayant pu être quelconque avant la u.'''"'<" partie, a pour valeur

[JL — m [X -t- //.

CALCUL DES PUOBABILITES. lOJ

on a donc

comme dans le cas où p = </.

148. La probabilité P^,„, pour que la ruine se produise en jouant an maximum u. parties a pour valeur

* (jL.m — ^ , *'a m»

[L = tn

le Z étant relatif aux valeurs m, m -+- 1, m -f- '\, . . . puisque la ruine ne peut avoir lieu que de deux en deux parties.

Si l'on pose u. = m -h ih, on peut ainsi écrire l'expression de Pjj.,,„

Pa,,» = V"T

m(m -\- o) „ , I -H mpq H — p-<r

— ^^ \ />'f/'H TT-, —P'<J'-

m (ni -^ /i -i- i) {/» -h /i -\- 2} . . .{m -h ■îfi — i ) ^^ ^^ 1 . 2 . o . 4 . . . A ■ '~^' ' '' '

149. Cette expression de Pji,„, résulte de la généralisation de la formule du n° 141. La généralisation de la formule du n° 138 donnerait

^V-'n- ^ ,„ ; ^ + ni\''

fx:

[a — m u. -+- »J u — ni u. + /.>; 1

(t^,j,(tiiv,)

Cette expression n'a pas, comme la précédente, l'avantage de faire connaître la probabilité de ruine relative à chaque partie; elle donne uniquement la somme P^,„, de ces probabilités. Par contre, elle doit

loS I,. UACIII I.IKK.

t-tit' iMiiplovt'o ([uaiid on (li'>ii(' calculer la ilistribiilion des prol)al)ilités (11" LV'Oel l'espérance inalliénialiquc ( n" 157) du jeu.

l.")0. i.ors(|ue aucune liniile n'es! iixee pour la dniée du jeu, la ruine ost cerlaine si Ic! jeu est équitable (n" I3i)) et à plus Cortc raison s'il est désavantageux.

Il n'en est pas de même l()rs([ue le jeu présente un avantage, si l'aible soit-il. Dans ce cas d'ailleurs on peut déterminer la probabilité totale do ruine sans elTectuor aucune sommation.

Désignons par /",„ la probabilité totale de iiiine du joueur (jui possède m francs. Ce joueur ne peut perdre m francs sans perdre d'abord un franc, puis un autre, puis un troisième, etc.

La probabilité de sa ruine quand il possède m lianes est donc/',", d'après le principe des probabilités composées.

Il reste il calculer /,. Supposons que le joueur ne possède qu'un franc; en jouant une partie, il a probabilité </ de perdre son uni(]ue franc et probabilité/» de posséder deux francs; on a donc

d'où

et par suite

1.51. La probabilité do ruine peut être obtenue par la théorie des équations aux dilferences finies. Kn désignant par r,^ cette probabililé ([uand le joueur A possède x francs, on a

La (juantité V doit do plus satisfaire aux conditions

V„= I. .lx= o.

L'intégration de l'équation par la méthode connue ( n" 132) conduit aux mémos résultats (jue précédemment.

1.V2. i)x\ voit ({ue si le jeu est avantageux, non seulement la proba-

CAI.Cl'L DES PKOliABlLITÉS. I09

hilité de ruine ne tend pas vers l'unité, mais (juc même elle est très faible si la quantité rn est suffisamment grande.

Supposons, par exemple, que y> = o,5f, y = o,/|(). m étant égal à loo; la probabilité de ruine

est comme on voit très faible.

Cet exemple montre combien le moindre avantage change les conditions de réussite d'un jimi.

153. La probabilité totale de ruine lorsque aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu peut être tacilement obtenue même en supposant que les conditions du jeu varient avec la perte du joueur.

Les enjeux étant toujours égaux à l'unité, supposons que les [)robabilifés soient/?, et»/, jusqu'à ce que le joueur aitsubi la perte totale de I fr, puis qu'elles soient />. et y, jusqu'à ce que le joueur ait perdu en totalité 2 fr, puis qu'elles soient/?., et q.^, etc.

Le joueur ne pouvant être ruiné sans avoir subi la perte totale de I fr, puis de 2 fr, puis de 3 fr, etc., la probabilité de ruine est, en vertu du principe tles probabilités composées,

7i Tî fh

Px Pi Pz

là'i. Distribution des probabilités. — Le problème de la distribution de la probabilité consiste à étudier les probabilités relatives à tous les cas qui peuvent se présenter; la formule du n" l'i6 résout la ([ueslion pour les cas où le joueur est ruiné: il nous reste à étudier les cas où le joueur n'est pas ruiné.

Nous allons donc chercher la probabilité pour que, à la a"""' partie, le joueur ait perdu la somme rn —y (qui est un gain si y est supérieur à m).

Si/J était égal à q, la probaiulité serait (n" 142)

1 I O L. IIACIIKLIER

c'est-à-(liro

— .>',\2/ f/ — w — r, ;^-h w -t- j, Va/

»i -)-.>• I fx -+- tu

Si maintenant on suppose/) difloront de 7 les coefficients ne changent pas (n" 144) et puisciue le joueur a liiialt'ineiit perdu m — y francs en

u. parties, les quantités (-) doivent être remplacées par

La probabilité pour que, à la n."""' partie, le joueur ait perdu la somme m — y est donc

IX — /M + r ^ jx-h m — .y I IJ- — m — y , jx-h m -h y 22 22

Cette quantité peut encore s'écrire

^|J.,Hi— y ^\l,m-t-y

155. On peut démontrer directement cette dernière formule sans qu'il soit nécessaire de connaître l'expression des prohabilités us.

Si le joueur A avait une fortune infinie, la probabililé cherchée serait tn^,„,, ; nous devons retrancherde cette quantité les probabilités relatives aux cas où le joueur A, d'abord ruiné, aurait ensuite gagné la somme y s'il avait pu continuer à jouer jusqu'à la [j^'"""' partie.

Si le joueur A lorsqu'il est ruiné pouvait continuer à jouer, la probabilité pour que, dans les parties suivantes, il gagne >' francs, est à la probabililé pour qu'il perde y francs dans le rapport de/)' à q' .

En effet, aux alternatives de gain et de perte qui produisent finalement le gain j' correspondent une à une les alternatives de perte et de gain qui produisent finalement la perte j. Soit a; le nombre des pertes pour une des premières suites d'alternatives, le nombre des gains sera y-hx. Dans la seconde suite correspondante, le nombre des pertes sera y -h ;r et le nombre des gains sera iv.

Le rapport des probabilités est donc

il est indépendant de x. On a donc quel que soit a

Si le joueur A lorsqu'il est ruiné pouvait continuer à jouer, la probabilité pour qu'il perde v francs (ce qui porterait sa perte totale à m -f- y francs) est à la probabilité pour qu'il gagne y francs (et par suite pour que sa perte soit réduite à m — y francs) dans le rapport de

La possibilité de la ruine du joueur A diminue donc la prohaliilité ^v.>m-y de la quantité

156. Des probabilités relatives aux cas où le joueur n'est pas ruiné, on déduit facilement les probabilités de ruine.

Pour que le joueur se ruine à la a''^'"'' partie, il faut que, à la (a — i)'«'™<' partie, il ne soit pas ruiné et qu'il ait perdu (m — i) francs; la probabilité de cette éventualité est, d'après la formule du n° 154,

'«'a— 1,Bt-l "'»^p.— l.m — 1

Il faut ensuite que le joueur perde la a'"'"' partie, éventualité qui a pour probabilité q. On a donc

fj. — 7// [X H- m

157. Étude de l'espérance mathématique. — Si le jeu peut durer indéfiniment, l'espérance totale du joueur t\u\ a une fortune limitée m est infinie si le jeu le favorise, elle est. négative et égale à — m si le jeu le défavorise. Lorsque le jeu est équitable les espérances positive et négative ont pour valeur m (n° 139).

Lorsque le nombre des parties est limité, l'espérance mathématique

I I 1 I.. l:A(.m.l IKH.

so Ciilnilc racilcinciil dl's (|iic la tlistriltiilion de la |ir'(il)al)ili((' est connue; rcsix-rancc négative est la soiiuik; de la (|iianlilt'' - wP^,»; qui correspond à la ruine lolale el des espéraiiees pour (jue, si le jeu n'est pas terminé en a jiarlies, le joueur ail perdu m — 2 Ir, m — 4 ir. e(e. L'espérance positive est la somme des espérances correspondanl aux j,Mins de u. francs, de ij. — 2 t'r, de.

158. Durée moyenne du jeu. — Soit o {m) la durée moyenne du jeu, c'est-à-dire l'espérance mathématique d'un jouciu' Il (jui (livrait recevoir i fr par partie jouée; cherclions (|nelle est la durée o(/« -H m') dans le cas où la fortune du joueur est m -f- tn' .

Pour perdre la somme m + m', le joueur doit d'aixtrd perdre la somme //;. Au moment où il a perdu cette somme, la durée moyenne relative à la nouvelle perte m' est p {m').

La durée moyenne relative à la somme m -t- m s'obtiendra donc en ajoutant y {^rn') à o (jn).

On a donc

cp(/«) = (]ni.

Pour déterminer la constante (l, supposons que Ir joueur possède uniquement i fr, alors w = i et cp {m) = C.

On peut calculer autrement 9 («2) pour m = i. En jouant une partie, il y a probabilité y pour que lo jeu se termine et probabilité y> pour (|ue le joueur gagru' et qu'il possède 2 fr; la durée moyenne, après la première partie, serait 2C dans cette hypothèse.

On a donc, en égalant les deux expressions de la durée moyenne

C = ry+/J[i-+-2C1,

d'où

'1 ~r La durée moyenne du jeu est donc

'I — P 159. La durée moyenne du jeu est infinie lorsque p = q et k plus

forte raison lorsque le jeu est avantageux, car alors la probabilité pour que le jeu dure iniléfinirnent est finie et a pour valeur

160. La valeur (le la durée moyenne du jeu peut être facilement obtenue même en supposant que les conditions du jeu varient avec la perte du joueur.

Les enjeux étant toujours égaux à l'unité, supposons que les probabilités soient/?, et q^ jusqu'à ce que le joueur ait subi la perte totale de I fr, puis qu'elles soient p., et q., jusqu'à ce que le joueur ait perdu en totalité 2 fr, puis qu'elles soient jîj et ^3, etc.

Le joueur ne pouvant être ruiné sans avoir d'abord perdu en totalité un franc, puis un autre, puis un troisième, etc., la durée moyenne ilu jeu est

q\ — P\ q-i — Pï 'ii — p%

161. Cas où les enjeux sont inégaux. — Un joueur A possède m francs ; il «, pour chaque partie, la probabilité p de gagner la somme a et la probabilité q ^= i — p de perdre la somme [3 ; quelle est la probabilité pour qu'il soit ruiné précisément à la u.""^" partie?

Nous ne pouvons supposer les données quelconques; la quantité m doit être, en effet, un multiple de p. Si le joueur A perd sans interruption depuis le début du jeu, et si m n'est pas un multiple de p, il arrivera un moment où le joueur sera forcé de cesser de jouer sans avoir perdu ses m francs, possédant encore une somme inférieure à son enjeu. Donc m doit être un multiple de [i.

Supposons qu'il en soit ainsi ; le joueur A ne peut être ruiné avant

la partie d'ordre^; s'il n'est pas ruiné à cette partie, il possède au

P moins la somme a -1- ji. Admettons qu'il possède cette somme; ne pouvant perdre que-p par partie, le joueur ne pourra être ruiné qu'après

— ^ parties; ce nombre doit être entier, donc a doit être un multiple de jil. La quantité a doit évidemment être de la forme '-^ ^> /;

Il4 I- IIAC.IIKI.IIK.

t'l;Mil iiM cul ici', aiitroiiiciil . I:i |ii()i);iliililt' do niini- à la parlic d'ordre [x l'S( luillc.

Kii rcsiinu' : réiionccdu prohlt'inc suppose ()U(' a et m soient des imilliples do (i.

S'il en etail autreineiil, l'expression de prohaliiiité tie rnine n'aurait plus un sons proeis. il l'audrail lui suhsiiluer l'expression : |)robal)ili(o de la tonninaison An jeu. dolh» proliabilité pourrait se calculer, du moins en théorie, en étudiant di' proche en proche les parties jouées, en eonuiieneant |iar la première. Si ni est suffîsamment grand par rapport il ^, les formules des prohahilités continues qui seront obtenues plus loin feront eonnaitre cette prohabilité avec une grande approximation.

Nous supposerons ({ue a et m sont des multiples de l'enjeu [3.

I(j"2. Si le joueur a perdu m francs en u. parties, c'est qu'il a gagné — — ^parties et perdu ^'"^ ^^ ' parties. La probabilité de gain étant/J,

la probabilité pour que cet événement se produise'-^-^ — p- fois en u. épreuves (n" 42) est

P(J. — m a(Jl + m

Cette probabilité est plus grande que celle que nous cherchons; elle est relative à toutes les séries de parties amenant la ruine du joueur A en a parties. Nous devons en retrancher celles qui auraient amené cette ruine avant la \j}''"^^ partie.

Nous allons donc chercher, parmi les séries qui auraient produit la perte m en a parties, celles qui auraient produit cette perte avant la [JL"-""'- partie.

Considérons une série qui aurait produit la ruine en y parties; cette série, si elle avait pu se continuer, se serait composée, après la [jl'*'""' partie, det!-c- — ^parties gagnées et de °' ] parties perdues, puisque la perte totale aurait été égale à m. Quel que soit y, le rapport du nombre des parties gagnées au nombre des parties perdues est toujours--

CALCUL DES PROBABILITCS. 11.)

A partir (le la y""" Partie, il so produit une suite de pertes et de gains que l'on peut représenter symboliquement comme suit :

G| Ti, 1*, . . .GpjjL-y . . .PaiuL-y,;