fi a + p

G, indique que la (y -1- i)'"'""' partie a donné un gain, G. indi(jue que la partie suivante a donné un gain, P, signifie que la partie suivante a donné une perte, etc.

Considérons une suite quelconque

C'est une permutation quelconque qui contient, comme nous l'avons vu, des nombres de lettres G et de lettres P proportionnels à j3 et a. Donc le nombre de ces permutations qui se terminent par P est au nombre des permutations qui se terminent par G dans le rapport de a à ^.

Donc, le nombre total de ces permutations est égal au nombre de

celles qui se terminent par G multiplié par — ^■

Si la dernière lettre est G, c'est que la dernière partie a été un gain; or, pour que la \i}""'' partie fournisse un gain, il faut que la perte soit (m + a) à la (a — i )'""'■ partie.

Donc :

Le nombre des séries qui auraient produit la perte en moins de u.

parties est égal au produit par- — ~ du nombre des séries qui, produisant la perte {m + a) en (ij. — i) parties produiraient la perte m en u. parties.

Passant du nombre des séries aux probabilités, nous pouvons dire que la probabilité ^^^,n est égale à la probabilité nT(i„, diminuée du pro-

duit par — ^ de la probabilité pour que la perte étant (m-f-a) en

(u. — I ) parties soit égale à m en a parties, c'est-à-dire diminuée de

jo—p-i-Gi^ ,.„,+,. On a donc :

"[i.rn — W|J.,m — /' ç 5^(1— I,m-i-a-

Si, dans la formule précédente, on remplace ra^,,„,+ï par sa valeur.

un (ililient

Il "'

Telle est l'expression de la probabilité pour que le joueur soit ruiné précisément à la ^j."""'' partie.

a. et m étant des multiples de j3, nous supposerons que ^ = i ; la (ormule s'écrira alors

16;}. La probabilité pour que la ruine se produise en jouant au

maximum fx parties est