IJ.-IJ
l'indice inférieur prend les valeurs successives m, m -h ce. -h i,
m H- ua -1- 2,
Kj'i. Cherchons uiaintenant la probabilité pour que le joueur A ait perdu la somme m — y k h [i.''""" partie. S'il possédait une fortune infinie la probabilité serait ci^,,,,-;,,; il faut déduire de cette quantité les probabilités relatives aux cas où le joueur A supposé ruiné aurait ensuite gagné la somme r s'il avait pu continuer à jouer. Il faut donc déduire de gj^,,,, ^ la somme
qui s'étend aux valeurs m, (m -h v. -h i), {m -t- 2a -h 2), . . . ( [-«• — -) dejj...
16.Î. Lorque aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, on peut calculer la probabilité totale de ruine sans effectuer aucune sommation.
Le raisonnement précédemment employé (n" 150) subsiste intégralement; l'expression de la probabilité est de la forme/"'.
Il reste à déterminer /,. Supposons que le joueur ne possède que I fr; en jouant une partie, il a probabilité g de perdre son unique
franc et probabilité /7 de posséder a -i- i fr; on a donc
Donc la probabilité cherchée a pour valeur/"', la quantité/, étant la racine positive de l'équation
cette équation admet toujours l'unité pour racine, c'est l'autre racine positive qui convient.
Lorsque le jeu est équitable, a/j — y = o l'équation admet pour racine double l'unité : la ruine est donc certaine.
lien est de même à plus forte raison quand le jeu estdésavantageux.
166. La théorie des équations aux différences finies conduit au même résultat.
En désignant par v^, la probabilité de ruine du joueur A quand il possède X francs, on a
Pour intégrer cette équation on pose (n" l;i2)
elle devient
ou
La probabilité cherchée est donc v'", la quantité c satisfaisant à 'équation
i- =1 q -h pi'^-^^ ;
c'est le résultat que nous avons obtenu. Lcsdeux méthodes ne diffèrent du reste que par la forme.
167. La probabilité totale de ruine lorsque aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu peut être facilement obtenue même en supposant que les conditions du jeu varient avec la perte du joueur.
Supposons que le jeu soit défini par les quantités p,, y,, a, jusqu'à ce que le joueur ait perdu en totalité i fr: par les quantités p.,,
I l8 I . RACIIEUEn.
q.,, a., jusqu'à ce que le joueur ait perdu en totalilé -i fr, etc. Le joueur ne pouvant être ruiné sans avoir subi la perte totale de i fr, puis de -1 fr. etc., la probabilité de ruine est, en vertu du principe des probabilités composées
les quantités/,, 1,, o,... étant les racines positives des équations
Oi = -73 -^- T'a ??•■".
168. Durée moyenne du jeu. — Le raisonnement précédemment employé (n" lô8j subsiste intégralement, la durée moyenne a pour valeur Cm.
Pour déterminer la constante C. supposons que le joueur possède uniquement i fr, alors la durée moyenne est C.
En jouant une partie, il y a probabilité y pour que le jeu prenne fin à cette partie et probabilité /> pour que le joueur possède la somme a + i. Dans ce cas, la durée moyenne après la preinière partie est C(a + i). On a donc, en égalant les deux expressions de la durée moyenne,
d'où
La durée moyenne du jeu ([uand le joueur possède m francs est donc
169. Supposons que le jeu soit défini par les quantités y;,, c/,, a, jusqu'à ce que le joueur ait perdu en tolalilé i fr, par les quantités P21 72. ^2 jusqu'à ce que le joueur ait perdu en totalité 2 fr, etc. Le joueur ne peut se ruiner sans perdre un franc, puis un second, puis un troisième, etc. La durée moyenne du jeu est donc
91— «i/»! qi — ^iPi '/3— «3/':
170. Cas de trois alternatives. — A chaque partie le Joueur A qui possède m francs a probabilité p pour gagner i fr, probabilité q pour perdre i //• et probabilité r = \ — p — q pour faire partie nulle; quelle est la probabilité pour qu'Usait ruiné précisément à la oJ""^" partie?
Soit ll(t,,„ la probabilité cherchée; iiuus allons comparer cette (jnaiitité à c3,i„, (n° 54).
Supposons que la perte soit m à la a'""*" partie et que le nombre des
parties nulles soit X-; il y a dans ces conditions - — — ^ parties gagnées et ^^^^^-^^^^^ parties perdues. Une des alternatives de gains, de pertes et de parties nulles peut se représenter par la suite. (0 P,, R.., P3, Q. Pu,
[', indique que la première partie a donné un gain, Ro que la seconde partie a été nulle, P;, indicjue que la troisième partie a donné un gain, Qi que la quatrième a donné une perte, etc.
Le nombre des permutations est celui de u. lettres dont k lettres R,
' lettres P et lettres Q, c est-a-dire
,jA
C'est le nombre des cas favorables de la probabilité s^,,, dans l'hypothèse où le nombre des parties nulles est A.
Cherchons maintenant le nombre des cas favorables de la probabilité n.j,,„, dans les mêmes conditions. Il faut pour l'obtenir retrancher du nombre total N des permutations : i" les permutations qui se terminent par R, car elles auraient produit la ruine du joueur à Ia(u. — i)"'"''
AN partie (ou antérieurement); leur nombre est — ; 2° les permutations
qui se terminent par P, car elles auraient produit la ruine du joueur avant la (a — i)"'™'" partie; leur nombre est ^~""*~ N; 3° les permutations qui se terminent par Q, mais qui sont telles que, en les lisant de droite à gauche, le nombre des lettres P soit, à un instant quelconque
de la lecture, égal au nombre des lettres Q.
120 I.. BVCHKLIEH.
Si on elTet cette éveiitualilo voiiiiit ii se produire, co serait que, à la partir correspondante ou à une partie antérieure, le joueur A aurait été ruiné.
Nous allons voir ([ue le nombre des permutations de cette troisième sorte est égal au nombre des permutations de la seconde.
Considérons une |)ermutation de la seconde sorte, par exemple
(2) 1$,. l\. 0, O). I IV.. K/+2 Q^-2. lip. ,. IV
Si on lit la |)ermul;ition de droite il gaucbe, le nombre des lettres Q surpassant finalement celui des lettres P de la (luantilé m, il arrivera nécessairement un moment où les nombres des lettres P et Q seront égaux; supposons que ce soil pour la valeur A + i de l'indice.
Formons une permutation identique à la précédente jusqu'il la };'""• lettre et en (iuel<|ue sorte symétrique pour les lettres suivantes, c'est-ii-dire formée en rempla^-ant P par Q et Q par P.
(3) l{,. I\, Q3 Q> I <J>,.,, IV, !>(,,, H^,, Q^.
A chacune des permutations (2 ) correspond une permutation (3) et inversement. En lisant de droite a gauche, les permutations (2) commencent par P et les permutations (3) par Q et ces dernières sont telles que le nombre des lettres P devient à un certain moment égal au nombre des lettres Q. Les permutations de la troisième sorte sont donc en même nombre que celles de la seconde.
Le nombre des permutations favorables qui formentllii^met qui correspondent à la valeur particulière de k est donc
^ 2[i 2f^ fX
Quelle que soit la valeur de k, le rapport du nombre des permutations qui forment la probabilité n^,„, au nombre des permutations
qui forment ra|x,,„ est — On a donc.
Si l'on supposait plus généralement que le joueur A ait à chaque partie probabilité p pour gagner a francs (a est entier), probabilité q
CALCUL DES PROnAIilMTKS. 12 ï
pour perdre i fr et probabilité r = i — p — q pour faire partie nulle, on aurait toujours
n,i ,„ étant la probabilité de ruine à la a'*'""" partie et cj^,,, la probabilité de la perte m à la même partie. La démonstration est analogue à la précédente et à celle du n° 162.
17 I . Revenons pour simplifier au cas où a= i. La probabilité pour que la ruine ait lieu avant li. parties ou à la u."'"'' partie est
Le S s'étendant à tontes les valeurs entières de u..
Si aucune limite n'est tixée pour la durée du jeu, on peut obtenir la probabilité totale de ruine sans effectuer aucune sommation. Un raisonnement analogue à celui qui a déjà été employé ( 150) conduit à la valeur de cette probabilité
La probabilité de ruine est une certitude si le jeu est équitable et à plus forte raison s'il est désavantageux.
La durée moyenne se détermine comme précédemment ( 1.58 ); sa
valeur est
La probabilité pour que le joueur perde la somme m — y à la u.'' partie est exprimée par la formule
dont la démonstration estanalogue à celle qui a été exposée au n" 155.
CIIMMTIIK Y.
ti$(»isii:mi: ntoiti.KMK ue la théorie du jeu.
172. (](' (juc lions ii|>|M'lniis le Iroisième problème de la théorie du jeu consiste dans rclndc du cas où les joueurs oui Ions deux des t'orliines limitées.
Traitons d'abord un cas particulier 1res simple :
Lejoneur A possède i iV, le joueur B possède 2 fr; ils jouent i fr par p.'vrtie, le joueur A ayant probabilité/» pour gagner et probabilité y pour perdre. Oiiels sont les résultats que fournit le calcul sur cette question? Pour que le jeu ne se termine pas il faut que le joueur A gagne la première partie, le joueur B la seconde, le joueur A la troisième, etc. La probabilité pour (jue le jeu ne soit pas terminé en [x
parties est/?^ q^ ou p ' q ' suivant que ;j. est pair ou impair.
Le joueur A peut perdre h la première partie, la probabilité de cette éventualité est q; il peut perdre à la troisième, la probabilité est q-p; il peut perdre à la cinquième, la |)robabililé est q^p-, etc.
Le joueur B peut perdre à la seconde partie, la probabilité est/?-; à la quatrième, la probabilité est p'q, etc.
