I.. IIAC.III l.IKR
joueur A possède ni francs, le joueur \\ possède u francs, ils jouent jusqu'à la ruine de l'un d eux ; quelle est, pour c/iaquejoueur, la prohabilité d'être ruiné?
Nous supposerons d'abord (|uc les enjeux sont de i fr par partie, (|ue le joueur A a probabilité p pour i^aijncr une partie, et probabilité q pour perdre et (juc le jeu est avantageux pour ce joueur
Pour obtenir la probabilité X d(! la ruine du joueur A, on doit, des alternatives de gain et de perte qui le ruineraient si B avait une fortune infinie, retrancber celles qui, causant d'abord la ruine du joueur B, causeraient ensuite celle du joueur A si le jeu pouvait se continuer.
La probabilité cherchée X est donc la probabilité de ruine du joueur A en supposant // infini (n" LiO), c'est-à-dire ( - ) diminuée de la probabilité pour que, B étant ruiné d'abord, A le soit ensuite, c'est-àdire diminuée de
En effet, aucune limite n'étant assignée d'avance pour la durée du eu, la probabilité pour que B soit ruiné avant A est la probabilité totale de ruine de B, c'est-à-dire (i — X). et d'autre part, la probabilité de
ruine du joueur A quand il possède m -4-
On a donc
n francs est bien ( -
d'où
ms)
La probabilité de ruine du joueur B est
Nous avons supposé que le jeu avantageait le joueur A; s'il en était
CALCUL DES PROBAlilLITF.S. 125
autrement, les formules seraient les mêmes. Le joueur B serait en elTet avantagé, et, en appliquant à son jeu le raisonnement qui a été employé précédemment pour le jeu de A, on aurait
1] pj
[11 . Nous avons supposé les enjeux égaux; s'il n'en était pas ainsi, le jeu pourrait s'arrêter sans qu'aucun des joueurs soit ruiné, l'un d'eux possédant une somme inférieure à son enjeu.
L'hypothèse de l'égalité des mises est donc nécessaire pour que le problème de la probabilité de ruine ait un sens précis et par suite pour que sa solution soit rigoureuse.
178. Notre démonstration ne s'applique pas au cas où le jeu est équitable, mais les formules sont toujours exactes par raison de continuité. Par exemple, la probabilité de ruine du joueur B
iff-
prend la forme - lorsque - = I, c'est-à-dire lorsque le jeu est équitable. En appliquant à cette expression la règle connue, on obtient sa valeur
La probabilité de ruine du joueur A est
Lorsque le jeu est équitable, les probabilités de ruine sont inversement proportionnelles aux fortunes des joueurs. Ce résultat avait été obtenu par un raisonnement plus simple (n" 13).
i2() !.. iiu.iir.i.iK.n.
I7i). On peut ilrlorniiiUT les prolialiilitc's par la tliéorio ilos ('(lualioiis aux (lillV-roiUTs linics.
Soit^'j. la probabilité ([u'a le joueur A d'être ruiné quand il possède a: francs et quand, par suite, le joueur H possède w -h /< —.f francs. On a
c'est une équation linéaire ii coei'licienls constants qui s'intègre par la méthode classique (n° i;{2). En remarquant qu'on doit avoir
Vo=l Cl y„, ,„ = o,
on obtient le même résultat que précédemment.
180. Si le jeu est avantageux pour le joueur B, la probabilité de sa ruine
, /Vi-t-rt
prend la forme - si m et n sont infinis, leur rapport restant fini. En
appliquant à cette expression la règle connue, on voit que sa valeur est zéro. Donc, lorsque les fortunes des joueurs sont très grandes, celui que le jeu désavantage sera certainement ruiné.
181. Si les joueurs possèdent la même fortune, il est facile de calculer directement leurs probabilités de ruine. Si les joueurs possèdent la même somme m, leurs probabilités de ruine à une même partie quelconque sont proportionnelles à f/"' otp"'.
En effet, les deux joueurs ayant la même fortune et les enjeux étant égaux, aux successions de perte et de gain qui peuvent ruiner l'un correspondent une à une les successions de perte et de gain qui peuvent ruiner l'autre. Soit jc le nombre des gains dans une série, le nombre des pertes sera m-\-x; le rapport des probabilités de ruine des deux joueurs A et B pour la valeur considérée de x est donc
Il est indépendant de x.
^x pm+x pli
CALCXL DKS PROBABILITÉS. I27
Donc, pour une même partie, quel que soit son rang, les probahilités de ruine des deux joueurs sont proportionnelles à q"' et //", 7 et /> étant leur probabilité de [)erte pour une partie.
Les probabilités de ruine pour une même partie quelconque étant proportionnelles à çr'" et/?'", les probabilités totales de ruine sont proportionnelles à ces mêmes quantités, et, comme leur somme est un, leur valeur respective est
182. Durée moyenne du jeu. — La durée moyenne du jeu est l'espérance raathémati(|ue d'un joueur 11 qui devrait recevoir i fr par partie jouée.
Supposons d'abord que le jeu soit désavantageux pour le joueur A.
Nous avons obtenu la formule
relative au cas où le joueur B possède une fortune infinie (n" 158); cette formule représente la somme de deux sortes de termes :
1° Ceux qui correspondent aux alternatives de gain et de perte du joueur A qui n'auraient pas ruiné le joueur B possédant n francs avant de ruiner le joueur A; ces termes ne changent pas par ce fait que la fortune du joueur B est limitée à n francs ;
1° Ceux qui correspondent aux alternatives de gain et de perte du joueur A ruinant d'abord le joueur B possédant n francs.
Si le joueur B lorsqu'il est ruiné pouvait continuera jouer, la durée
moyenne du jeu serait — — — puisque dans ces conditions le joueur A
posséderait m -^n francs.
Soit U la probabilité de ruine du joueur B; la possibilité de la ruine
de ce joueur diminue la durée moveune de la quantité U -• La
durée moyenne du jeu est donc
m ,. 1)1 -^ n mil — U ) — Un
Ij8 I.. IIACIIKLIF.R.
Cotte lorimile ne changerait pas dans le cas où le jeu désavantagerait le joueur H.
q — /) est l'avantage du joueur B [)Our une partie, /«( i — U ) est l'espérance positive de ce joueur, — Uw est son espérance négative, le numérateur est donc l'espérance totale ou avantage total; donc
Le nombre moyen des parties est égal an rapport de l'avantage total i/e l'an des jouears à l'avantage du même joueur dans chaque partie.
I8;{. On [)eut ohtenir le même résultat par la théorie des équations aux dillérences linics.
Soitj'jla durée moyenne lorsque le joueur A possède x francs;
on a
rx=> +pyx+\ + qyx-\,
car le nombre des parties jouées comprend la partie par laquelle on commence et ensuite /r devient r^+, ou j>'j. , selon que le joueur a gagné ou perdu.
On peut écrire
jx — pyx+\ — cjyx-\ — ' ;
c'est une équation aux dillérences, linéaire, à coefficients constants et à second membre constant. En l'intégrant par la méthode classique (n° 134) et en remarquant que l'on doit avoir /» =f> et y,„^„ =o on obtient le même résultat que précédemment.
