L'expression de la durée moyenne (n

mq'" ( </" — p") + rip" ( p'" - q'" ) q"'^"((j—p ) -I- p"'+"(p — q)

prend la forme - quand le jeu est équitable, c'est-à-dire quand

En appliquant deux fois de suite la règle connue, on obtient la valeur de cette expression

i{in -\- n) m n z=z mn.

Lorsque le jeu est équitable, la durée moyenne est égale au produit des fortunes des joueurs.

185. On obtient le même résullaf par l'emploi des formules de récurrence. En désignant par jv'j- la valeur de la durée moyenne lorsque le joueur A possède x francs, on a, comme précédemment (n° 183),

On peut intégrer cette équation par la méthode classique (n" 134). On peut simplement remarquer que, l'équation pouvant s'écrire

■iyx — yx-^ — ■i=yx+u

on déduit successivement de celle-ci

2j3 — Js— 2=/i,

d'où

J'3=37, — 6, .yi—'-\y\— 12.

ys^â/i— 20,

et généralement

Ym-n doit être nul, donc

o = ( »j -1- « ) >•, — {m ^ n) [m -\- Il ~ i)

par suite

On a donc

yx=^ x{ m -\- n) — .r-.

La durée moyenne a donc pour valeur

Si la fortune de l'un des joueurs est infinie, la durée moyenne est infinie.

lit) L. BACHELIER.

Oiiaïul li's lorliincs dos joueurs soiil rjiiiilcs, le jeu ('(luilaljlc iliii'o en iiio\iMiiic plus (|ui' l(iu( aulr'c jeu : c'est ce (|ue (léuioulre la l'orniule ilu n" Is'i.

I8(i. La première t'oinmle du n" IH'i exprime la durée moyeune du jeu, que ee soit l'un ou l'autre joueur (|ui soit ruiné; nous allons clierelier quelle est la durée moyenne correspondant à la ruine du joueur A. lîn d'anlres termes, la première l'ormule du n" !8''i exprime l'espérance malhèmatique d'un joueui' Il (|ui toucherait i f'r par partie jouée; nous allons chercher quelle serait l'espérance d'un joueur II qui toucherait i fr par partie jouée (juand le joueur A seiait ruiné et qui ne toucherait rien si le jeu se terminait par la ruine du joueur K.

Oésii,nions par y,, la durée moyenne cherchée (|uand le joueur A po>sède X- francs; on a

zV""", p)

+ p.yx+i-^q)x-\-

Le nombre moyen des parties jouées comprend en effet la partie par laquelle on commence, et elle a probabilité

pour compter dans la durée moyenne dont il s'agit. Après cette partie, la durée moyenne devient >>^-l ou )'j;, selon que le joueur a gagné ou perdu.

L'équation peut s'écrire

ryx^t—yx+ qjx-i — — —